求证$1439^2 | \sum_{k=1}^{1439}k^{1439}$，已证1439整除该求和式

你已经完成了最关键的基础步骤——证明$1439$整除这个和，现在我们用一个简洁的对称技巧就能推进到平方整除的结论，全程只用到二项式定理和奇质数的核心性质：

• 确认前提：你已经证明1439是奇质数，这是整个推导的核心基础。
• 配对求和项并展开：
  对任意$1 \leq k \leq 1438$，把$k$和$1439 - k$配对。用二项式定理展开$(1439 - k)^{1439}$：
  $$(1439 - k)^{1439} = \sum_{m=0}^{1439} \binom{1439}{m} 1439^m (-k)^{1439 - m}$$
  观察展开式：当$m \geq 1$时，$1439^{m$必然是$1439}2$的倍数（$m=1$时，$\binom{1439}{1}1439^1 (-k)^{1438}=14392 k^{1438}$；$m \geq2$时，$1439^{m$本身就是$1439}2$的倍数）。因此模$1439^2$时，所有中间项都可以忽略，只剩下最后一项：
  $$(1439 - k)^{1439} \equiv (-k)^{1439} \pmod{1439^2}$$
• 利用奇质数的幂次特性：
  因为1439是奇质数，$(-k)^{1439} = -k^{1439}$，所以：
  $$(1439 - k)^{1439} \equiv -k^{1439} \pmod{1439^2}$$
• 推导求和式的模性质：
  令$S = \sum_{k=1}^{1438}k{1439}$，那么：
  $$S = \sum_{k=1}^{1438}(1439 - k)^{1439} \equiv \sum_{k=1}^{1438}(-k){1439} = -S \pmod{1439^2}$$
  移项得$2S \equiv 0 \pmod{1439^2}$。由于1439是奇质数，2和1439互质，因此可以两边除以2，得到$S \equiv 0 \pmod{1439^2}$。
• 加入最后一项完成证明：
  最后一项$1439^{1439} = 1439^2 \cdot 1439^{{1437}$，显然是$1439}2$的倍数。因此原求和式：
  $$\sum_{k=1}^{1439}k{1439} = S + 1439^{1439} \equiv 0 + 0 \equiv 0 \pmod{1439^2}$$

这样就完整证明了$1439^2$整除这个求和式！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者LeFo