使用递归原理证明：n≥0时11^{n+2}+12^{2n+1}可被133整除

别担心，这种需要递推的数论证明刚开始接触确实容易摸不着头脑，我一步步给你拆解清楚：

第一步：验证基础情况（n=0） #

当n=0的时候，直接代入计算表达式的值：
11^(0+2) + 12^(2*0+1) = 11² + 12 = 121 + 12 = 133
133除以133等于1，完全整除，所以基础情况成立。

第二步：做出归纳假设（假设n=k时成立） #

我们先假设，对于任意一个非负整数k，表达式11^(k+2) + 12^(2k+1)能被133整除。换句话说，存在某个整数m，使得：
11^(k+2) + 12^(2k+1) = 133m

第三步：递推证明n=k+1时也成立 #

接下来是最关键的一步，我们要证明当n=k+1时，表达式同样能被133整除。先写出n=k+1时的表达式：
11^((k+1)+2) + 12^(2(k+1)+1) = 11^(k+3) + 12^(2k+3)

现在我们要把这个式子往归纳假设的方向变形：

• 把11^(k+3)拆成11 * 11^(k+2)（就是多乘了一个11）
• 把12^(2k+3)拆成12² * 12^(2k+1) = 144 * 12^(2k+1)（因为2(k+1)+1=2k+3，指数多了2，所以是12的平方）

代入后式子变成：
11*11^(k+2) + 144*12^(2k+1)

这里的技巧来了——我们把144拆成11 + 133（因为144-11=133，刚好是我们要整除的数），这样就能凑出归纳假设里的项：

= 11*11^(k+2) + (11 + 133)*12^(2k+1)
= 11*(11^(k+2) + 12^(2k+1)) + 133*12^(2k+1)

现在把我们之前的归纳假设11^(k+2) + 12^(2k+1) = 133m代入进去：

= 11*133m + 133*12^(2k+1)
= 133*(11m + 12^(2k+1))

你看，现在整个式子是133乘以一个整数（11m和12^(2k+1)都是整数，加起来还是整数），说明n=k+1时的表达式确实能被133整除。

最后结论 #

根据数学归纳法（也就是递归原理的核心思想：基础情况成立，且能从k推导到k+1），对于所有非负整数n≥0，$11^{n+2}+12{2n+1}$都可以被133整除。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者EllipticalInitial