求证给定多项式所有根位于半径为2的圆盘内——以z⁵-z⁴+15为例

完全不需要计算全部根，Rouché定理是解决这类根的位置问题的绝佳工具，具体步骤如下：

• 首先锁定复平面上的圆周$|z|=2$，我们的目标是证明：在这个圆周上以及外部区域，多项式$f(z) = z^5 - z^4 + 15$没有根，也就意味着所有根都落在圆周内部的圆盘$|z|<2$中。
• 把$f(z)$拆成两个解析函数的和：$g(z) = z^5$，$h(z) = -z^4 + 15$，显然$f(z) = g(z) + h(z)$。
• 在圆周$|z|=2$上，分别计算两个函数的模长：
  • $|g(z)| = |z^5| = 2^5 = 32$
  • $|h(z)| = |-z^4 + 15| \leq |z^4| + |15| = 2^4 + 15 = 16 + 15 = 31$
• 可以看到，在$|z|=2$上，$|h(z)| < |g(z)|$。根据Rouché定理：若两个解析函数$g(z)$和$g(z)+h(z)$在某条简单闭曲线内部解析，且在曲线上$|h(z)| < |g(z)|$，则它们在曲线内部的根的个数（计重数）相等。
• 而$g(z) = z^5$在$|z|<2$内有5个根（均为$z=0$，重数为5），所以$f(z)$在$|z|<2$内也有5个根——刚好是这个5次多项式的全部根（代数基本定理告诉我们n次多项式有n个根，计重数）。

整个过程完全不需要求解任何一个根的具体值，仅通过模的比较和定理推导就完成了证明。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JakeHaming