两个几何随机变量问题咨询：求P(X≥Y)的推导过程

嘿，咱们来一步步拆解这个独立几何分布变量求$P(X \geq Y)$的问题，先把你的求解思路梳理清楚：

设$X$和$Y$是独立随机变量，分别服从参数为$p_1$和$p_2$的几何分布，求$P(X \geq Y)$。

你的思路是把$P(X \geq Y)$拆分成所有可能的$X=k$时，$Y \leq k$的概率之和，这个方向完全正确！具体展开如下：

$$
\begin{eqnarray*}
P( X \geq Y ) &=& P( X = 0)P(Y \leq 0) + P(X = 1)P(Y \leq 1) \
&+& P(X = 2)P(Y \leq 2) + P(X = 3)P(Y \leq 3) + \dots
\end{eqnarray*}
$$

首先明确这里的几何分布是以首次成功前的失败次数为变量的定义（即取值从0开始），它的概率质量函数为：

• $P( X = k ) = p_1(1-p_1)^k$，其中$k=0,1,2,\dots$

对应到具体的取值概率就是：

• $P( X = 0) = p_1$
• $P( X = 1) = p_1(1-p_1)$
• $P( X = 2) = p_1(1-p_1)^2$
• $P( X = 3 ) = p_1(1-p_1)^3$
• $\dots$

如果要得到最终的闭形式结果，还可以把$Y$的累积分布函数$P(Y\leq k)=1-(1-p_2)^{k+1}$代入求和式，再利用等比数列求和公式化简，就能得到更简洁的表达式啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bob