如何证明该定积分的值与参数γ无关？

很高兴看到你从曲面展开的抽象理论中得到这个有趣的定积分，而且通过Mathematica的数值验证确认了它和$\gamma$无关——这确实是个很巧妙的结论。下面我分享一个直接且有效的证明思路：

方法：利用积分对参数的导数为零 #

核心思路是：如果积分$I(\gamma)$对$\gamma$的导数恒为0，那它必然是一个与$\gamma$无关的常数。

首先定义：
$$I(\gamma) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}\frac{1+\sin}2\theta}{(\cos^{4\theta+(\gamma\cos}2\theta-\sin\theta)²⁾\frac{3}{4}}d\theta$$

我们计算$I(\gamma)$对$\gamma$的导数，根据莱布尼茨法则（可以通过勒贝格控制收敛定理验证交换积分与求导顺序的合法性）：
$$\frac{dI}{d\gamma} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \frac{(1+\sin^2\theta) \cdot \frac{-3}{4} \cdot 2(\gamma\cos^{2\theta-\sin\theta)\cos}2\theta}{(\cos^{4\theta+(\gamma\cos}2\theta-\sin\theta)²⁾\frac{7}{4}} d\theta$$

化简后得到：
$$\frac{dI}{d\gamma} = -\frac{3}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \frac{(1+\sin^{2\theta)(\gamma\cos}2\theta-\sin\theta)\cos^{2\theta}{(\cos}4\theta+(\gamma\cos^{2\theta-\sin\theta)}2)^\frac{7}{4}} d\theta$$

接下来观察被积函数的奇偶性：做变量替换$\theta \to -\theta$，此时$\sin(-\theta) = -\sin\theta$，$\cos(-\theta) = \cos\theta$，代入后分子变为：
$$(1+\sin^{2\theta)(-\gamma\cos}2\theta+\sin\theta)\cos^2\theta = - (1+\sin^{2\theta)(\gamma\cos}2\theta-\sin\theta)\cos^2\theta$$
分母则完全不变，因此整个被积函数是奇函数。

而积分区间$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$是关于原点对称的，奇函数在对称区间上的积分值为0，即：
$$\frac{dI}{d\gamma} = 0$$

这就直接证明了$I(\gamma)$是一个常数，与$\gamma \in \mathbb{R}$无关。

另外，你也可以尝试通过变量替换（比如令$t = \tan\theta$）将积分转化为关于$t$的表达式，不过上面的导数法已经足够简洁地完成证明了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Diesirae92