请求严谨证明分段连续函数积分变上限函数左右导数的积分第一基本定理

嘿，咱们先来理清楚前置的定义和已经确认的结论：

前置定义与已知结论 #

• 任意函数$f$的左导数定义为：
  $$f^{-}(x) = \lim_{h \to 0^{-}} \frac {f(x+h) - \lim_{a \to x^{-}} f(a)}{h}$$
• 右导数定义为：
  $$f^{+}(x) = \lim_{h \to 0^{+}} \frac {f(x+h) - \lim_{a \to x^{+}} f(a)}{h}$$
• 已知结论：这两种导数算子的加法、乘法及整数幂法则已经被证明成立，同时咱们默认所有积分相关的前置知识和证明都是有效的。

待证命题 #

设$f$是分段连续函数，对任意实数$a$，定义变上限积分函数：
$$g(x) = \int^{x}{a} f(t) dt$$
需要证明：$g(x)$可以左右求导，并且满足
$$g^{+}(x) = \lim{b \to x^{+}} f(b),\quad g^{-}(x) = \lim_{b \to x^{-}} f(b)$$

证明过程 #

第一步：证明右导数$g^{+}(x) = \lim_{b \to x^{+}} f(b)$ #

根据右导数的定义，咱们需要计算：
$$g^{+}(x) = \lim_{h \to 0^{+}} \frac {g(x+h) - \lim_{c \to x^{+}} g(c)}{h}$$

首先，因为$f$是分段连续函数，它的变上限积分$g(c)$是连续函数（这是积分的基本结论），所以$\lim_{c \to x^{+}} g(c) = g(x)$。

接下来，$g(x+h) - g(x) = \int_{x}^{x+h}f(t)dt$，把这个代入右导数的表达式里，就得到：
$$g^{+}(x) = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{\int_{x}^{x+h}f(t)dt}{h}$$

现在用积分中值定理（分段连续函数同样适用这个定理）：存在一个$\xi_h$满足$x < \xi_h < x+h$，使得$\int_{x}^{x+h}f(t)dt = f(\xi_h) \cdot h$。

把这个结果代入上式，分子分母的$h$就可以约掉：
$$g^{+}(x) = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{f(\xi_h) \cdot h}{h} = \lim_{h \to 0^{+}} f(\xi_h)$$

当$h$趋近于$0^{{+}$的时候，$\xi_h$会趋近于$x}{+}$，所以$\lim_{h \to 0^{+}} f(\xi_h)$就等于$\lim_{b \to x^{+}} f(b)$，这样右导数的等式就证明完成了。

第二步：证明左导数$g^{-}(x) = \lim_{b \to x^{-}} f(b)$ #

按照左导数的定义，咱们要计算：
$$g^{-}(x) = \lim_{h \to 0^{-}} \frac {g(x+h) - \lim_{c \to x^{-}} g(c)}{h}$$

同样，因为$g(c)$是连续函数，所以$\lim_{c \to x^{-}} g(c) = g(x)$。

这里$h$是负的，咱们可以令$h = -k$，其中$k$趋近于$0^{+}$，这样$g(x+h) - g(x) = \int_{x}^{x-k}f(t)dt = -\int_{x-k}^{x}f(t)dt$。

把这个代入左导数的表达式：
$$g^{-}(x) = \lim_{k \to 0^{+}} \frac{-\int_{x-k}^{x}f(t)dt}{-k} = \lim_{k \to 0^{+}} \frac{\int_{x-k}^{x}f(t)dt}{k}$$

再用一次积分中值定理：存在$\xi_k$满足$x-k < \xi_k < x$，使得$\int_{x-k}^{x}f(t)dt = f(\xi_k) \cdot k$。

代入后约掉$k$：
$$g^{-}(x) = \lim_{k \to 0^{+}} \frac{f(\xi_k) \cdot k}{k} = \lim_{k \to 0^{+}} f(\xi_k)$$

当$k$趋近于$0^{{+}$时，$\xi_k$趋近于$x}{-}$，所以$\lim_{k \to 0^{+}} f(\xi_k) = \lim_{b \to x^{-}} f(b)$，左导数的等式也证明好了。

最终结论 #

综合上面的两步证明，$g(x)$的左右导数都存在，并且完全符合命题里给出的等式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user64742