不等价度量是否诱导相同一致结构？拓扑不同的度量探究

答案是不会——如果两个度量诱导的拓扑不一样，那它们绝对不可能诱导出相同的一致结构。我结合一致结构的定义、它和拓扑的关联，再给你补个例子，把这事说透。

首先先引用K.D. Joshi《一般拓扑学导论》第354页里的原话：

当然可能出现两种不同度量诱导相同一致结构的情况。

注意哦，这里的“不同度量”是指度量本身的定义不同，但它们诱导的拓扑是相同的——因为一致结构会唯一确定一个拓扑，所以能共享同一个一致结构的度量，必然会导出同一个拓扑。

先回顾一致结构的定义 #

集合$X$上的一致结构是$X\times X$的非空子集族$\mathcal{U}$，得满足下面这几条公理：

• 只要$U$在$\mathcal{U}$里，它的逆$U^{-1}={(y,x) | (x,y)\in U}$也必须在$\mathcal{U}$里；
• $\mathcal{U}$里的每个子集都得包含$X$的对角线$\Delta={(x,x) | x\in X}$；
• 对$\mathcal{U}$里的任意$U$，总能找到另一个$V\in\mathcal{U}$，使得$V\circ V\subseteq U$（这里的复合$V\circ V$指的是所有满足“存在$y$使得$(x,y)$和$(y,z)$都在$V$里”的$(x,z)$对）；
• $\mathcal{U}$对有限交封闭：如果$U$和$V$都在$\mathcal{U}$里，那它们的交集$U\cap V$也在$\mathcal{U}$里；
• 只要$U$在$\mathcal{U}$里，并且$U$是$V$的子集（$V$是$X\times X$的子集），那$V$也必须在$\mathcal{U}$里。

我们把$(X, \mathcal{U})$叫做一致空间。

一致结构怎么诱导拓扑？ #

每个一致结构$\mathcal{U}$都会在$X$上生成唯一的拓扑：对每个点$x\in X$，所有形如$U[x]={y\in X | (x,y)\in U}$（其中$U\in\mathcal{U}$）的集合，构成了$x$的邻域基。

对于度量空间来说，度量$d$诱导的一致结构$\mathcal{U}d$，是由所有$\epsilon$-邻域$U\epsilon={(x,y) | d(x,y)<\epsilon}$（$\epsilon>0$）生成的子集族。而这个$\mathcal{U}_d$诱导出来的拓扑，恰好就是度量$d$本身诱导的那个拓扑。

为什么拓扑不同的度量不可能有相同的一致结构？ #

假设度量$d$和$\rho$诱导了同一个一致结构$\mathcal{U}$，那根据上面的规则，它们诱导的拓扑必然都是$\mathcal{U}$对应的那个唯一拓扑——也就是说，$d$和$\rho$的拓扑肯定是相同的。

反过来，如果$d$和$\rho$的拓扑不一样，那它们的一致结构必然不同，毕竟要是一致结构相同的话，拓扑不可能有差别。

补个书里提到的“不同度量同一致结构”的例子 #

比如在实数集$\mathbb{R}$上，标准度量$d(x,y)=|x-y|$，和另一个度量$d'(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$。这俩度量定义完全不同，但它们诱导的一致结构是一样的（你可以验证：对任意$\epsilon>0$，总能找到$\delta>0$，使得$d'(x,y)<\delta$等价于$d(x,y)<\epsilon$，反过来也成立），而且它们诱导的拓扑都是$\mathbb{R}$上的普通欧氏拓扑。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user479859