咨询求解两个偏微分方程柯西问题的方法，含特定初值困惑

我来一步步帮你解决这两个PDE柯西问题，核心方法都是特征线法，咱们一个个拆解：

问题1：线性齐次PDE柯西问题 #

$$\left{ \begin{array}{l l} yu_{x} +xu_{y}=0 & \quad \mbox{$x,y \in \mathbb{R}$}\ u(0,y) = y^4 \end{array} \right. $$

步骤1：写出特征线方程 #

对于线性PDE $yu_x + xu_y = 0$，特征线满足：
$$\frac{dx}{y} = \frac{dy}{x} = \frac{du}{0}$$
其中$\frac{du}{0}$意味着$du=0$——这说明$u$在每条特征线上是常数，这是线性齐次PDE的关键性质。

步骤2：求解特征曲线（x与y的关系） #

先处理$\frac{dx}{y} = \frac{dy}{x}$，交叉相乘得$xdx = ydy$，两边积分：
$$\int xdx = \int ydy \implies \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}y^2 + C \implies x^2 - y^2 = C$$
这里$C$是任意常数，每条$x^2 - y^2 = C$都是一条特征线，$u$在这条线上取值固定。

步骤3：利用初值确定解的形式 #

既然$u$是$x^2 - y^2$的函数，我们设$u(x,y) = \phi(x^2 - y^{2)$（$\phi$是待确定的一元函数）。代入初值条件$u(0,y)=y}4$：
当$x=0$时，$x^2 - y^2 = -y^{2$，因此$\phi(-y}2) = y^4$。
令$z = -y^2$，则$y2 = -z$，$y^4 = (y²⁾2 = (-z)^2 = z^2$，所以$\phi(z) = z^2$。

代入回去就得到最终解：
$$u(x,y) = (x^2 - y²⁾2$$

补充下你提到的课本例子：那个问题$u_t + xu_x=0$的特征线是$\frac{dx}{x} = \frac{dt}{1}$，解为$x=Ce^{t$，初值$u(x,0)=f(x)$对应$C=x$，所以$u(x,t)=f(xe}{-t})$。本质都是特征线法，只是特征线形式不同——咱们这个问题的特征线是双曲线，初值给在$x=0$上，只要把初值点代入特征线找到$\phi$的表达式就行。

问题2：非线性PDE柯西问题 #

$$\left{ \begin{array}{l l} u_{x} +2u_{y}=u^2 & \quad \mbox{$x,y \in \mathbb{R}$}\ u(x,0) = h(x) \end{array} \right. $$

步骤1：写出特征线方程 #

对于非线性PDE $u_x + 2u_y = u^2$，特征线满足：
$$\frac{dx}{1} = \frac{dy}{2} = \frac{du}{u^2}$$

步骤2：求解x-y平面的特征曲线 #

先处理$\frac{dx}{1} = \frac{dy}{2}$，积分得：
$$2dx = dy \implies 2x = y + C \implies C = 2x - y$$
每条$2x - y = C$都是x-y平面上的特征线。

步骤3：关联u与x（或y）的关系 #

再处理$\frac{dx}{1} = \frac{du}{u^2}$，积分得：
$$\int dx = \int \frac{du}{u^2} \implies x = -\frac{1}{u} + D$$
这里$D$是依赖于特征线的常数（即$D$是$C=2x-y$的函数），记为$D = \psi(2x - y)$，因此：
$$x + \frac{1}{u} = \psi(2x - y)$$

步骤4：利用初值确定$\psi$ #

代入初值$u(x,0)=h(x)$，当$y=0$时，$2x - y = 2x$，所以：
$$x + \frac{1}{h(x)} = \psi(2x)$$
令$z=2x$，则$x=\frac{z}{2}$，代入得：
$$\psi(z) = \frac{z}{2} + \frac{1}{h\left( \frac{z}{2} \right)}$$

步骤5：代入得到最终解 #

把$\psi(z)$代回$x + \frac{1}{u} = \psi(2x - y)$：
$$x + \frac{1}{u} = \frac{2x - y}{2} + \frac{1}{h\left( \frac{2x - y}{2} \right)}$$
整理后求解$u$：
$$\frac{1}{u} = -\frac{y}{2} + \frac{1}{h\left( \frac{2x - y}{2} \right)}$$
通分后得到：
$$u(x,y) = \frac{ 2 h\left( \frac{2x - y}{2} \right) }{ 2 - y h\left( \frac{2x - y}{2} \right) }$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者KBG