关于素数无穷性证明的疑问：为何未排除s-t=1的情况？

嘿，这个疑问提得特别好！我当初第一次啃素数无穷性证明的时候也纠结过类似的细节，咱们拆开来捋清楚：

首先，得锚定这个证明的核心前提：我们假设所有素数都是有限的，记作$p_1,p_2,\dots,p_n$，而且根据素数的定义，每一个$p_i$都是大于1的自然数——这是关键，素数的核心定义就是大于1且除了1和自身外没有其他因子的数，所以$p_i=1$从一开始就不成立。

再看你提到的式子$(s-t)p_i=1$：因为$s、t、p_i$都是自然数，自然数相乘等于1的情况只有一种——两个因子都等于1，也就是必须同时满足$s-t=1$和$p_i=1$。

那为什么$s-t≠1$？咱们分两种情况拆解：

• 当假设的素数个数$n≥2$时：$s$是除了$p_i$之外所有已知素数的乘积，比如$n=2$时，$s=p_1$（或$p_2$），而素数都大于1，所以$s≥2$。如果$s-t=1$，结合式子就会推出$p_i=1$，这和$p_i$是素数（大于1）的前提直接矛盾，所以这种情况不可能存在。
• 当$n=1$时（也就是假设只有一个素数$p_1$）：$s$是空乘积（数学里空乘积的定义是1），式子就变成$(1-t)p_1=1$。但$t$是自然数，$1-t$只能是整数，而$p_1≥2$，整数乘以大于1的数等于1是完全不可能的——比如$p_1=2$，那$1-t=1/2$，不是自然数，根本不成立。

说白了，这个证明的逻辑是：只要假设素数有限，就会推出“某个素数等于1”的矛盾，而$s-t=1$的情况本质上和这个矛盾绑定在一起，因为它必须和$p_i=1$同时成立，而$p_i=1$本身就违反了素数的定义，所以$s-t=1$的情况已经被素数的定义和假设前提直接排除了，不需要额外单独证明。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jiten