确定α和β使分段复值函数f在(0,2]上连续

咱们直接聚焦问题核心：既然函数已经在$(0,1)$和$(1,2]$上各自连续，要让它在$(0,2]$上整体连续，只需要保证衔接点$x=1$处的左极限等于右极限就行。下面一步步拆解验证：

1. 计算$x\to1^-$的左极限 #

当$x$从左侧趋近于1时，用第一段函数表达式：
$$f(x) = x^2 \sin(\pi/x) + ix^2$$
因为函数在$(0,1]$上连续，直接代入$x=1$就能得到左极限：
$$
\lim_{x\to1^-} f(x) = 1^2 \cdot \sin(\pi) + i\cdot1^2 = 0 + i = i
$$
也就是左极限的实部为0，虚部为1。

2. 计算$x\to1^+$的右极限 #

当$x$从右侧趋近于1时，用第二段函数表达式：
$$f(x) = \alpha e^{\frac{1}{1-x}} + i\beta e^x$$
这里要注意两个关键极限：

• 当$x\to1^{+$时，$\frac{1}{1-x}\to-\infty$，所以$e}{\frac{1}{1-x}}\to0$；
• 当$x\to1^+$时，$ex\to e$。

代入后得到右极限：
$$
\lim_{x\to1^+} f(x) = \alpha \cdot 0 + i\beta \cdot e = i\beta e
$$
也就是右极限的实部为0，虚部为$\beta e$。

3. 联立条件求解$\alpha$和$\beta$ #

要让函数在$x=1$处连续，必须满足左极限与右极限的实部、虚部分别相等：

• 实部：左极限实部0 = 右极限实部0，这个条件对任意$\alpha$都成立（因为$\alpha$乘以0始终是0）；
• 虚部：左极限虚部1 = 右极限虚部$\beta e$，解得$\beta = \frac{1}{e}$。

结论 #

• 只要取$\boldsymbol{\beta = \frac{1}{e}}$，同时$\boldsymbol{\alpha}$可以取任意复数，就能让函数$f$在$(0,2]$上连续。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者lolan496