如何用洛必达法则求解下述含正整数参数的无穷极限

让我一步步带你拆解这个问题，用洛必达法则求出最终的极限结果：

首先，先把原式里的常数项分离出来，这样能让核心的极限部分更清晰：
原式可以改写为：
$$\lim_{K\to\infty} K^{s\left(1-\frac{x}{2r}\right)}{K-s} = \frac{1}{\left(1-\frac{x}{2r}\right)^s} \cdot \lim_{K\to\infty} K^s \cdot \left(1-\frac{x}{2r}\right)^K$$
这里$\left(1-\frac{x}{2r}\right)^s$是个固定常数（毕竟s、r、x都是题目给定的常数），所以直接提到极限外面完全没问题。

接下来，我们令$a = 1 - \frac{x}{2r}$，根据题目里的条件$0<x<1$且$r$是正整数，很容易看出$0 < a < 1$——这一点很关键，后面会用到。现在问题就简化成求$\lim_{K\to\infty} K^s \cdot a^K$了。

转化为洛必达法则适用的∞/∞型 #

洛必达法则可不是随便能用的，它只针对0/0型或者∞/∞型的极限。现在看我们的式子：当$K\to\infty$时，$K^{s$会趋向于无穷大，而$a}K$因为$0<a<1$会趋向于0，这是$\infty \cdot 0$型，不符合洛必达的要求。所以我们得把它转成分式形式：
$$\lim_{K\to\infty} K^s \cdot a^K = \lim_{K\to\infty} \frac{K^s}{a{-K}}$$
现在再看：分子$K^{s\to\infty$，分母$a}{-K} = \left(\frac{1}{a}\right)^K$，因为$\frac{1}{a} > 1$，所以分母也会趋向于无穷大，完美变成了∞/∞型，这下可以用洛必达法则了。

多次应用洛必达法则 #

接下来就是对分子分母分别求导：

• 分子$K^{s$的一阶导数是$sK}{s-1}$
• 分母$a^{-K}$的一阶导数呢？根据复合函数求导法则，$\frac{d}{dK} b^K = b^K \ln b$，这里$b=\frac{1}{a}$，所以导数是$a^{-K} \cdot \ln\left(\frac{1}{a}\right)$

第一次求导后，极限就变成：
$$\lim_{K\to\infty} \frac{sK^{s-1}}{a{-K} \cdot \ln\left(\frac{1}{a}\right)} = \frac{s}{\ln\left(\frac{1}{a}\right)} \cdot \lim_{K\to\infty} \frac{K^{s-1}}{a{-K}}$$
你会发现这还是∞/∞型，没关系，继续用洛必达法则就行。

就这样重复求导，每求一次，分子的K的幂次就降1，直到第s次求导：

• 分子经过s次求导后，就变成了$s!$（也就是s的阶乘，是个常数）
• 分母经过s次求导后，会变成$a^{-K} \cdot \left(\ln\left(\frac{1}{a}\right)\right)^s$

这时候极限就变成了：
$$\lim_{K\to\infty} \frac{s!}{a^{-K} \cdot \left(\ln\left(\frac{1}{a}\right)\right)^s} = \frac{s!}{\left(\ln\left(\frac{1}{a}\right)\right)^s} \cdot \lim_{K\to\infty} a^K$$
因为$0 < a < 1$，所以$\lim_{K\to\infty} a^K = 0$，那这个极限的结果自然就是0了。

回代得到最终结果 #

最后把这个结果代回最开始的简化式里：
$$\lim_{K\to\infty} K^{s\left(1-\frac{x}{2r}\right)}{K-s} = \frac{1}{\left(1-\frac{x}{2r}\right)^s} \cdot 0 = 0$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Reza_va