关于莫比乌斯变换的两个证明问题：亚纯延拓与全纯映射

嘿，我来帮你拆解这两个证明——其实核心都绕不开扩充复平面上的极点定义和全纯映射的局部分析，咱们一步步捋清楚：

首先明确：亚纯函数的定义是在定义域内除了极点外处处全纯的函数，而扩充复平面 $\hat{\mathbb{C}}$ 包含了有限复平面 $\mathbb{C}$ 和无穷远点 $\infty$，所以我们需要分别分析有限点和无穷远点的情况，别忘了莫比乌斯变换的核心条件是 $ad - bc \neq 0$（保证它不是常数函数）。

• 有限复平面上的分析：

  • 如果 $c \neq 0$：分母 $cz+d$ 只有一个零点 $z_0 = -\frac{d}{c}$。代入分子得 $az_0 + b = \frac{-ad + bc}{c} = -\frac{ad-bc}{c} \neq 0$，这说明 $z_0$ 是分母的一阶零点、分子的非零点，因此 $z_0$ 是函数的一阶极点；在其他所有有限点，分母不为零，函数是两个全纯函数的商，因此处处全纯。
  • 如果 $c = 0$：此时莫比乌斯变换退化为线性函数 $\frac{a}{d}z + \frac{b}{d}$，在整个有限复平面上都是全纯的，没有极点。

• 无穷远点 $\infty$ 的分析：
  研究无穷远点的性质，我们通常用倒数变换 $w = \frac{1}{z}$，把 $z \to \infty$ 转化为 $w \to 0$ 来分析：

  • 如果 $c \neq 0$：把原函数用 $w$ 表示为 $\frac{a \cdot \frac{1}{w} + b}{c \cdot \frac{1}{w} + d} = \frac{a + bw}{c + dw}$。当 $w \to 0$ 时，这个函数的极限是 $\frac{a}{c}$，且在 $w=0$ 附近分母 $c+dw \neq 0$，因此 $\infty$ 是函数的可去奇点，我们可以直接定义 $f(\infty) = \frac{a}{c}$，这样函数在 $\infty$ 的邻域内全纯。
  • 如果 $c = 0$：原函数变为 $\frac{a}{d}z + \frac{b}{d}$，用 $w$ 替换后得到 $\frac{a}{d \cdot w} + \frac{b}{d}$。当 $w \to 0$ 时，这个函数的行为是 $\frac{a}{d} \cdot \frac{1}{w}$，即 $w=0$ 是一阶极点，对应 $z=\infty$ 是函数的一阶极点。

综上，无论 $c$ 是否为0，我们都能把莫比乌斯变换延拓到 $\hat{\mathbb{C}}$ 上，使得它除了最多两个极点（一个有限点+无穷远点，或仅无穷远点）外处处全纯，完全符合亚纯函数的定义。

扩充复平面上的全纯映射，要求函数在每个点的邻域内（除可去奇点外）全纯，且是局部同胚（简单说就是局部可逆、保角），同时还要满足双射（因为全纯映射在紧复流形上是双射的话就是双全纯，而 $\hat{\mathbb{C}}$ 是紧的）。我们分点验证：

1. 有限点的局部全纯性与可逆性 #

• 对于有限点 $z \neq -\frac{d}{c}$（$c \neq 0$）或任意有限点（$c=0$）：
  求导可得 $f'(z) = \frac{a(cz+d) - c(az+b)}{(cz+d)^2} = \frac{ad - bc}{(cz+d)^2}$。由于 $ad - bc \neq 0$，所以 $f'(z) \neq 0$，这说明函数在这些点附近全纯且导数不为零，因此是局部同胚（逆映射存在且全纯）。
• 对于极点 $z_0 = -\frac{d}{c}$（$c \neq 0$）：
  这个点被映射到 $\infty$，我们看 $\frac{1}{f(z)} = \frac{cz+d}{az+b}$，这个函数在 $z_0$ 处是全纯的（分子是一阶零点，分母非零），且导数为 $\frac{c(az+b) - a(cz+d)}{(az+b)^2} = \frac{bc - ad}{(az+b)^2} \neq 0$，因此 $\frac{1}{f(z)}$ 在 $z_0$ 处局部可逆，对应 $f(z)$ 把 $z_0$ 的邻域映射到 $\infty$ 的邻域，是局部同胚。

2. 无穷远点的局部全纯性与可逆性 #

用倒数变换 $z = \frac{1}{w}$（$w \to 0$ 对应 $z \to \infty$）：

• 如果 $c \neq 0$：$f(z) = \frac{a + bw}{c + dw}$，这个函数在 $w=0$ 处全纯，导数为 $\frac{b(c+dw) - d(a+bw)}{(c+dw)^2}\bigg|_{w=0} = \frac{bc - ad}{c^2} \neq 0$，因此在 $\infty$ 附近是局部同胚。
• 如果 $c = 0$：$f(z) = \frac{a}{d}z + \frac{b}{d} = \frac{a}{d \cdot w} + \frac{b}{d}$，令 $u = \frac{1}{f(z)}$，则 $u = \frac{d w}{a + b d w}$，这个函数在 $w=0$ 处全纯且导数 $\frac{ad}{a^2} = \frac{d}{a} \neq 0$，因此 $f(z)$ 把 $\infty$ 的邻域映射到 $\infty$ 的邻域，是局部同胚。

3. 双射性验证 #

• 单射：假设 $f(z_1) = f(z_2)$，交叉相乘化简得 $(ad - bc)(z_1 - z_2) = 0$，由于 $ad - bc \neq 0$，所以 $z_1 = z_2$，单射成立。
• 满射：对任意 $w \in \hat{\mathbb{C}}$，解 $w = \frac{az+b}{cz+d}$：当 $w \neq \infty$ 时，$z = \frac{dw - b}{-cw + a}$（这也是一个莫比乌斯变换，因为 $(-c)a - d(-b) = -(ad - bc) \neq 0$）；当 $w = \infty$ 时，$z = -\frac{d}{c}$（$c \neq 0$）或 $z = \infty$（$c=0$），满射成立。

结合局部全纯、局部同胚以及双射，就证明了莫比乌斯变换是 $\hat{\mathbb{C}}$ 到自身的全纯映射（实际上是双全纯映射，也就是共形等价）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者struggling for math