除数计数函数上界探究：是否存在常数C使d(n)≤(ln(n))^C

你这个猜想完全正确——确实不存在这样的常数C。我来给你梳理几个关键的证明思路，帮你把反证法走通：

• 构造极端案例：素数阶乘
  取n为前k个素数的乘积（也就是素数阶乘，记为$p_1p_2…p_k$，其中$p_i$是第i个素数）。对于这个n，它的除数个数$d(n)=2^k$，因为每个素数的指数都是1，每个素数都有“选”或“不选”两种情况，总共有2的k次方个除数。
  接下来看$\ln n$：$\ln(n)=\ln(p_1p_2…p_k)=\sum_{i=1}^k \ln p_i$。根据素数定理的推论，前k个素数的对数和近似于$k \ln k$（当k趋向无穷大时，$\sum_{i=1}^k \ln p_i \sim k \ln k$）。
  现在对比$d(n)$和$(\ln n)^C$：$d(n)=2k=e^{k \ln2}$，而$(\ln n)^C \approx (k \ln k)^C=e{C(\ln k + \ln\ln k)}$。显然，当k足够大时，$k \ln2$的增长速度远远超过$C(\ln k + \ln\ln k)$——指数函数的增长碾压多项式级的增长。不管你取多大的C，只要k足够大，$2^k$就会超过$(k \ln k)^C$，也就是$d(n)>(\ln n)^C$，直接和假设矛盾。

• 从除数函数的极值本质入手
  对于n的素因子分解$n=\prod p_i^{a_i}$，除数函数$d(n)=\prod(a_i+1)$。要让$d(n)$相对于$\ln n$尽可能大，最优策略是用尽可能多的不同小素数相乘：小素数的对数小，所以$\ln n$增长得慢，但每多一个素数，$d(n)$就翻一倍（因为每个新素数贡献因子2）。这种情况下，$d(n)$是指数级增长，而$\ln n$是多项式级增长（和$k \ln k$成正比），两者的差距会越来越大，任何固定的C都不可能把$d(n)$框在$(\ln n)^C$里面。

• 反证法的完整逻辑链
  假设存在常数$C>0$，使得对所有正整数n，$d(n)≤(\ln n)^C$。
  取n为前k个素数的乘积，那么$d(n)=2^k$，且$\ln n \sim k \ln k$（$k→∞$）。
  当k足够大时，必然有$2^k > (k \ln k)^C$（因为左边是指数增长，右边是多项式增长），即$d(n)>(\ln n)^C$，这与我们的假设矛盾。
  因此，不存在这样的常数C。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者lkjhgfdsa