除收敛至均值外，是否存在收敛到众数等其他量的统计量？

当然有！这个问题其实触及了统计量收敛行为里很有意思的一个分支——不是所有“有用”的统计量都会收敛到自身的期望，下面给你具体拆解：

符合要求的统计量例子 #

• 样本中位数（针对无有限均值的对称分布）：拿柯西分布来说，它的总体中位数和众数都是0，但它没有有限的总体均值。对于独立同分布（i.i.d.）的柯西样本，样本中位数会依概率收敛到0（也就是总体众数/中位数），但样本中位数本身的均值不存在（因为柯西分布的样本中位数也不具有有限期望），自然不存在“收敛到自身均值”的可能，完全符合你提的要求：非平凡收敛、依赖i.i.d.样本、收敛到非自身均值的目标量。
• 样本众数（针对离散或“众数突出”的连续分布）：比如考虑一个离散分布，满足P(X=1)=0.6, P(X=0)=0.4，总体众数是1。当样本量n足够大时，样本中出现1的次数几乎肯定比0多，所以样本众数会几乎必然收敛到1（总体众数）。而样本众数的自身均值是多少呢？计算一下：对于有限n，样本众数为1的概率是$\sum_{k=\lceil n/2 \rceil}^n \binom{n}{k}0.6^k0.4{n-k}$，这个值不等于1，也就是说样本众数的期望不是1，但它最终收敛到了1，而非自身均值。

关于样本均值的补充说明 #

你提到样本均值的情况：当总体均值存在时，辛钦大数定律保证样本均值依概率收敛到总体均值，而样本均值的期望就是总体均值，所以这时候它确实收敛到了自身均值。但如果总体均值不存在（比如柯西分布），样本均值根本不会收敛到任何有限值，这就不在我们讨论的有效范围内了。

额外注意事项 #

我们举的例子都避开了你说的“收敛到0”这类平凡情况，而且都是基于独立同分布样本，收敛方式覆盖了依概率收敛和几乎必然收敛两种你提到的类型。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者diadochos