如何求解线性函数的核？含具体线性映射实例咨询

没问题，我来一步步帮你理清楚怎么求线性函数的核，先讲通用思路，再解决你给出的具体例子～

首先得明确：线性函数$f$的核$\text{Ker}(f)$，定义为所有满足$f(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{0}$的输入向量$\boldsymbol{x}$的集合，本质上是齐次线性方程组的解空间。通用步骤如下：

• 第一步：把线性函数的表达式转化为齐次线性方程组。也就是让函数输出的每个分量都等于0，得到一组等式。
• 第二步：求解这个齐次方程组。可以用消元法（比如高斯消元）找出自由变量，然后用参数表示所有解。
• 第三步：把解表示为向量的线性组合形式，这些线性无关的向量张成的子空间就是$\text{Ker}(f)$。

现在看你给的函数：$f : (a, b, c, d, e) ∈ \mathbb{R}^5 → (a − d, a − d, e − d, c) ∈ \mathbb{R}^4$，我们按步骤来：

1. 写出齐次方程组：要让$f(a,b,c,d,e)=(0,0,0,0)$，也就是每个输出分量都为0，得到：

   a - d = 0
   a - d = 0
   e - d = 0
   c = 0
   

   注意这里前两个方程完全重复，合并后不影响求解。
2. 求解方程组：
   • 从第四个方程直接得到：$c = 0$
   • 从第一个方程得到：$a = d$
   • 从第三个方程得到：$e = d$
   • 剩下的$b$没有任何约束，是自由变量；我们可以把$d$也设为自由变量（因为$a$和$e$都由$d$决定）。
     用参数表示所有变量：设$b = s$（$s∈\mathbb{R}$），$d = t$（$t∈\mathbb{R}$），那么：
     $a = t$，$c = 0$，$e = t$
3. 表示核的向量形式：
   把解写成向量就是：
   $$(a,b,c,d,e) = (t, s, 0, t, t) = s(1, 0, 0, 0, 0) + t(0, 1, 0, 1, 1)$$
   所以$\text{Ker}(f)$就是由向量$\boldsymbol{v_1}=(1,0,0,0,0)$和$\boldsymbol{v_2}=(0,1,0,1,1)$张成的$\mathbb{R}^5$的子空间，它的维度是2。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mark