技术证明题：给定limₓ→c f(x)=0，证明limₓ→c 1/f(x)不存在

咱们先把题目条件明确下来，避免理解偏差：

题目前提 #

设$I \subset \mathbb{R}$为开区间，$c \in I$，函数$f:I-\left { c \right } \rightarrow \mathbb{R}$满足：

• 对任意$x \in I-\left { c \right }$，$f(x) \neq 0$
• $\lim_{x \rightarrow c}f(x)=0$

需要证明的结论是：$\lim_{x \rightarrow c} \frac{1}{f(x)}$不存在。

先纠正原证明的问题 #

原部分证明里写的$\lim_{x \rightarrow c}f(x)= mc+b$是错误的——题目已经明确给出$\lim_{x \rightarrow c}f(x)=0$，而且极限四则运算法则中，$\lim \frac{1}{g(x)}=\frac{1}{\lim g(x)}$的前提是$\lim g(x) \neq 0$，这里刚好不满足这个前提，所以不能直接套用这个公式。

正确的反证法证明 #

我们用反证法来推导，逻辑会更清晰：

假设$\lim_{x \rightarrow c} \frac{1}{f(x)}$存在，设这个极限为$L \in \mathbb{R}$。

根据极限的四则运算法则：如果两个函数的极限都存在，那么它们乘积的极限等于极限的乘积。

令$g(x)=f(x)$，$h(x)=\frac{1}{f(x)}$，显然对所有$x \in I-{c}$，$g(x) \cdot h(x)=1$。

那我们分别计算乘积的极限：

• 左边：$\lim_{x \rightarrow c} [f(x) \cdot \frac{1}{f(x)}] = \lim_{x \rightarrow c} 1 = 1$
• 右边：根据假设，$\lim_{x \rightarrow c} f(x) \cdot \lim_{x \rightarrow c} \frac{1}{f(x)} = 0 \cdot L = 0$

这就出现了1=0的矛盾，说明我们的假设不成立，因此$\lim_{x \rightarrow c} \frac{1}{f(x)}$不存在。

关于示例的补充说明 #

原证明里举的$f(x)=3x+2$其实不符合题目的条件：

• 如果取$c=-2/3$，此时$\lim_{x \rightarrow -2/3}f(x)=0$，但$f(-2/3)=0$，违反了“对任意$x \in I-{c}$，$f(x) \neq 0$”的要求；
• 如果取其他$c$，$\lim_{x \rightarrow c}f(x)=3c+2 \neq 0$，也不满足题目里极限为0的条件。

我们可以换一个符合条件的例子，比如$f(x)=x-c$：它在$I-{c}$上都不为0，且$\lim_{x \rightarrow c}f(x)=0$。此时$\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{x-c}$，当$x$从左边趋近于$c$时，$\frac{1}{x-c}$趋向于$-\infty$；从右边趋近时趋向于$+\infty$，显然极限不存在，这也直观验证了我们的结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Cody S