求欧氏空间上的反例：常秩映射的复合未必具有常秩

没问题，我给你举一个欧氏空间上的光滑反例——两个映射各自都是常秩的，但复合后秩就不是常数了：

• 首先定义第一个光滑映射 ( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 )：
  [
  f(t, s) = (t, s, t^2 + s^2)
  ]
  它的雅可比矩阵是：

  [1  0]
  [0  1]
  [2t 2s]
  

  不管( (t,s) )取( \mathbb{R}^2 )中任何点，前两行都是线性无关的标准基向量，所以这个矩阵的秩恒为2，也就是说( f )是常秩2的光滑映射。

• 然后定义第二个光滑映射 ( g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 )：
  [
  g(x, y, z) = (x, z - x^2)
  ]
  它的雅可比矩阵是：

  [1  0  0]
  [-2x 0 1]
  

  观察这个矩阵，第一列是( (1, -2x)^T )，第三列是( (0, 1)^T )，这两个向量在任何( x )取值下都不会共线（因为第二个向量的第一个分量是0，第一个向量的第一个分量是1），所以矩阵的秩恒为2，( g )也是常秩2的光滑映射。

• 现在看复合映射 ( h = g \circ f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 )，计算得：
  [
  h(t, s) = g(f(t, s)) = g(t, s, t^2 + s^2) = \left(t, (t^2 + s^2) - t^2\right) = (t, s^2)
  ]
  它的雅可比矩阵是：

  [1  0]
  [0  2s]
  

  现在看这个矩阵的秩：

  • 当( s \neq 0 )时，行列式是( 1 \times 2s - 0 \times 0 = 2s \neq 0 )，秩为2；
  • 当( s = 0 )时，矩阵变成( \begin{bmatrix}1 & 0 \ 0 & 0\end{bmatrix} )，秩为1。

  显然，复合后的映射( h )的秩在( \mathbb{R}^2 )上不是常数，完美符合你的要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Keith