多变量极限与微分：0处可微函数的二元极限求解疑问

首先明确前提：$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$仅在0处可导（可微），这个条件比较弱——函数在其他点甚至可能不可导，这直接影响了极限的存在性。

结论先行：这个二重极限不一定存在 #

我们可以通过反例来验证这一点：
构造函数：
$$
f(t)=
\begin{cases}
t^2 \sin\left(\frac{1}{t}\right), & t\neq 0 \
0, & t=0
\end{cases}
$$
这个函数在0处是可导的：
$$
f'(0)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(t)-f(0)}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}t\sin\left(\frac{1}{t}\right)=0
$$
但我们取特殊路径让$x,y\rightarrow 0$：令$x=y+y^2$（此时$x,y$都趋近于0），代入差商：
$$
\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=\frac{(y+y²⁾2\sin\left(\frac{1}{y+y^2}\right)-y2\sin\left(\frac{1}{y}\right)}{y^2}
$$
展开化简后得到：
$$
(1+2y+y^2)\sin\left(\frac{1}{y(1+y)}\right)-\sin\left(\frac{1}{y}\right)
$$
当$y\rightarrow 0$时，$\frac{1}{y(1+y)}\approx\frac{1}{y}-\frac{1}{y^2}$，利用三角恒等式展开后，这个表达式会因为$\sin\left(\frac{1}{y}\right)$和$\cos\left(\frac{1}{y}\right)$的振荡性，无法趋近于任何确定值，极限不存在。

关于替换$h=x-y$的疑问 #

你提出的$\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=\frac{f(y+h)-f(y)}{h}\rightarrow f'(0)$当$h,y\rightarrow 0$，这个推导是不成立的。
原因在于二重极限$\lim_{h,y\rightarrow 0}\frac{f(y+h)-f(y)}{h}$要求所有路径下$h,y$趋近于0时，差商都趋近于$f'(0)$，但刚才的反例已经说明，存在依赖路径（比如$h=y^2$）使得差商的极限不存在，自然无法收敛到$f'(0)$。

什么时候极限存在且等于$f'(0)$？ #

如果给$f$加上更强的条件，比如：

• $f$在0处导数连续，此时由中值定理，存在介于$y$和$y+h$之间的$c$，使得$\frac{f(y+h)-f(y)}{h}=f'(c)$，当$h,y\rightarrow 0$时$c\rightarrow 0$，而$f'(c)\rightarrow f'(0)$；
• $f$是Lipschitz连续函数且在0处可导，此时差商有界，结合在0处的可导性也能推出极限为$f'(0)$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者prolea