求证：ℝ³中过原点的平面无法使六个指定开球全在同一半空间

先把问题明确下来：
我们要证明的是：在三维欧氏空间$\mathbb{R}^3$里，任何过原点的平面，都不可能把以下六个开球全部包含在同一个半空间内：

• 球心为$(1, 0, 0)$、$(-1, 0, 0)$，半径$1/30$的两个球
• 球心为$(0, 1, 0)$、$(0, -1, 0)$，半径$1/30$的两个球
• 球心为$(0, 0, 1)$、$(0, 0, -1)$，半径$1/30$的两个球

直观理解 #

先从直觉上唠唠，这事儿确实挺合理：过原点的平面把整个空间劈成两个半空间，六个球的球心都在坐标轴上，离原点刚好1个单位，半径又只有$1/30$——每个球都紧紧“贴”在坐标轴上离原点1单位的位置，既碰不到原点，也跨不过过原点的平面。

严谨证明 #

咱们用反证法来推：
假设存在这样一个过原点的平面，设它的方程为 ax + by + cz = 0（其中$a,b,c$不同时为0）。咱们先假设所有六个开球都在平面的正半空间（也就是满足$ax + by + cz > 0$的一侧，另一侧逻辑完全一样）。

现在盯着坐标轴上的一对球看：

1. 对于球心$(1,0,0)$的开球，球内任意一点可以写成$(1 + t, 0, 0)$，其中$|t| < 1/30$。要让这个点满足$a(1 + t) > 0$对所有$|t| < 1/30$都成立。当$t$取最小的$-1/30$时，代入得：
   $$a\left(1 - \frac{1}{30}\right) = a \cdot \frac{29}{30} > 0$$
   这就得出 $a > 0$。

2. 再看球心$(-1,0,0)$的开球，球内任意一点是$(-1 + t, 0, 0)$，$|t| < 1/30$。同样要满足$a(-1 + t) > 0$对所有$|t| < 1/30$成立。当$t$取最大的$1/30$时，代入得：
   $$a\left(-1 + \frac{1}{30}\right) = a \cdot \left(-\frac{29}{30}\right) > 0$$
   这就要求 $a < 0$。

这就矛盾了啊——$a$不可能同时大于0又小于0。

同理，不管这个过原点的平面偏向哪个坐标轴，对应的一对球心都会导出类似的矛盾：比如平面偏向$y$轴时，$(0,1,0)$和$(0,-1,0)$的球会分别要求$b>0$和$b<0$，同样说不通。

所以咱们的假设不成立，不存在这样的过原点平面能把六个开球都装到同一个半空间里。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JackT