关于Evans《偏微分方程》中斯托克斯方程弱解证明的技术问询

我把从Evans《偏微分方程》第8.4章改编的这个断言和完整证明整理好了，用清晰的Markdown格式呈现给你：

断言 #

设$U\subset{\bf R^3}$为开的、有界且单连通区域。令$f\in L^2(U;{\bf R}^3)$。假设对任意$V\Subset U$（$V$光滑且单连通），存在$p\in L^2(V)$，使得
$$ \int_V Du:Dv\ dx = \int_V p\text{ div }v+f\cdot v\ dx,\quad\forall v\in H_0^1(V;{\bf R}^3)\tag{1} $$
其中$u$是某能量泛函的极小值点（具体假设此处暂不展开）。则可推导出：存在$p\in L_{loc}^2(U)$，使得
$$ \int_U Du:Dv\ dx = \int_U p\text{ div }v+f\cdot v\ dx,\quad\forall v\in H^1(U;{\bf R}^3)\text{ 且在}U\text{内具有紧支集}.\tag{2} $$

证明 #

我们通过构造一致的局部解序列并延拓到全局来完成证明：

1. 选取耗尽区域列：取一列光滑单连通区域${V_k}_{k=1}^\infty$，满足
   • $V_k \Subset V_{k+1} \Subset U$，且$\bigcup_{k=1}^\infty V_k = U$（即该序列耗尽整个区域$U$）
   • 每个$V_k$都满足断言中给出的局部存在性条件
2. 局部解的存在性：根据假设，对每个$k$，存在$p_k \in L^2(V_k)$，使得对任意$v \in H_0^1(V_k;{\bf R}^3)$，有
   $$ \int_{V_k} Du:Dv\ dx = \int_{V_k} p_k\text{ div }v+f\cdot v\ dx $$
3. 局部解的一致性：对任意$m > k$，考虑$V_k$中的测试函数$v \in H_0^1(V_k;{\bf R}^3)$，由于$V_k \Subset V_m$，$v$也属于$H_0^1(V_m;{\bf R}^3)$。将$v$分别代入$V_k$和$V_m$的等式，相减可得：
   $$ \int_{V_k} (p_m - p_k)\text{ div }v\ dx = 0,\quad\forall v\in H_0^1(V_k;{\bf R}^3) $$
   因为$V_k$是单连通的，根据Helmholtz分解，对任意$\phi \in L^2(V_k)$，存在$v \in H_0^1(V_k;{\bf R}^3)$使得$\text{div }v = \phi$。因此上式意味着$\int_{V_k} (p_m - p_k)\phi dx = 0$对所有$\phi \in L^2(V_k)$成立，即$p_m = p_k$在$V_k$上几乎处处相等。
4. 全局解的定义：利用局部解的一致性，我们可以定义全局函数$p \in L_{loc}^2(U)$：对任意$x \in U$，存在$k$使得$x \in V_k$，令$p(x) = p_k(x)$。由于任意紧集$K \Subset U$必包含在某个$V_k$中，$p|_K = p_k|K \in L^2(K)$，故$p \in L{loc}^2(U)$。
5. 验证全局等式：对任意$v \in H^1(U;{\bf R}^3)$且具有紧支集，存在$k$使得$\text{supp}(v) \Subset V_k$，此时$v \in H_0^1(V_k;{\bf R}^3)$。代入$V_k$的等式并利用$p$的定义，可得：
   $$ \int_U Du:Dv\ dx = \int_{V_k} Du:Dv\ dx = \int_{V_k} p\text{ div }v+f\cdot v\ dx = \int_U p\text{ div }v+f\cdot v\ dx $$
   这就证明了等式(2)成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user9464