关于求2²·3³·5³·7⁵的4n+1型除数的疑问

先给你把核心点掰明白——形如4n+1的数必然是奇数！ 你想啊，4n是偶数，加1之后肯定是奇数对吧？那任何包含因子2的除数，不管2的幂次是多少，结果都是偶数，根本不可能是4n+1这种奇数类型，所以这部分2²完全不会产生符合要求的除数，直接忽略掉是完全合理的。

你之前的推理有个小误区：“2的偶次幂会得到4n+1型的数”，其实不对哦。比如2²=4，是4n型（n=1），2⁴=16也是4n型，不管2的幂次是奇还是偶，结果都是偶数，而4n+1是奇数，偶数和奇数不可能是同一类型，所以2的任何幂次对应的因子都不符合要求，直接排除就好。

那正确的计算思路应该是这样的：

• 先把目标锁定在原数的奇数因子部分，也就是3³·5³·7⁵，只需要从这里面找形如4n+1的除数就行。
• 先把每个奇素数模4的结果列出来：
  • 3 ≡ 3 mod4（属于4n+3型）
  • 5 ≡1 mod4（属于4n+1型）
    -7≡3 mod4（属于4n+3型）
• 然后根据模运算的乘法规则：
  • 两个4n+1型的数相乘，结果还是4n+1型（1×1=1 mod4）
  • 两个4n+3型的数相乘，结果是4n+1型（3×3=9≡1 mod4）
  • 一个4n+1和一个4n+3相乘，结果是4n+3型（1×3=3 mod4）
• 所以要凑出4n+1型的除数，得满足：
  • 对于5³（4n+1型素数）：它的幂次可以选0、1、2、3，一共4种选择，不管选哪个，这部分的贡献都是4n+1型，怎么选都不影响。
  • 对于3³和7⁵（都是4n+3型素数）：它们的幂次之和必须是偶数（要么两个都是偶次幂，要么两个都是奇次幂，这样乘出来才是4n+1型）
    • 3³的幂次选择：偶次幂有0、2，共2种；奇次幂有1、3，共2种。
    • 7⁵的幂次选择：偶次幂有0、2、4，共3种；奇次幂有1、3、5，共3种。
    • 符合条件的组合：（偶+偶）2×3=6种，（奇+奇）2×3=6种，加起来一共12种。
• 最后把两部分的选择数相乘：4×12=48，所以符合要求的除数个数就是48个。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jitender