求证：有界函数f在任意[a',b]（a'>a）可积则在[a,b]Riemann可积

嘿，我完全懂你这种“心里明白但写不出来严谨推导”的感觉！下面我就用纯Riemann积分的经典定义（完全不用Lebesgue测度）帮你把这个证明一步步写清楚，每一步都给你讲明白逻辑～

首先，先回忆Riemann可积的充要条件：

函数$f:[a,b]\to\mathbb{R}$在$[a,b]$上Riemann可积，当且仅当对任意$\varepsilon>0$，存在$[a,b]$的一个划分$P$，使得该划分对应的上和$U(P,f)$与下和$L(P,f)$满足：
$$U(P,f) - L(P,f) < \varepsilon$$

接下来我们按这个条件来构造证明：

1. 利用函数的有界性
   已知$f$在$[a,b]$上有界，因此存在常数$M>0$，使得对所有$x\in[a,b]$，都有$|f(x)| \leq M$。这意味着在任意区间上，$f$的上确界与下确界的差不会超过$2M$（因为$\sup f - \inf f \leq M - (-M) = 2M$）。

2. 选取合适的$a'$并利用$[a',b]$上的可积性
   任取$\varepsilon>0$，我们先选一个满足$a < a' < a + \frac{\varepsilon}{4M}$的实数$a'$（这样的$a'$显然存在，比如取$a' = a + \frac{\varepsilon}{8M}$）。
   因为$f$在$[a',b]$上可积，根据充要条件，存在$[a',b]$的一个划分$P' = {a' = x_1, x_2, \dots, x_n = b}$，使得：
   $$U(P',f) - L(P',f) < \frac{\varepsilon}{2}$$

3. 扩展划分到$[a,b]$并估计达布和的差
   把划分$P'$扩展为$[a,b]$的划分$P = {a, x_1, x_2, \dots, x_n = b}$。现在计算$U(P,f) - L(P,f)$：
   这个差可以拆成两部分：$[a,a']$区间上的达布和差，加上$[a',b]$区间上的达布和差，即：
   $$U(P,f) - L(P,f) = \left[U([a,a'],f) - L([a,a'],f)\right] + \left[U(P',f) - L(P',f)\right]$$

   对于第一部分$[a,a']$的差：
   $$U([a,a'],f) - L([a,a'],f) = (\sup_{x\in[a,a']}f(x) - \inf_{x\in[a,a']}f(x)) \cdot (a' - a)$$
   结合第一步的有界性，这个差$\leq 2M \cdot (a' - a)$。而我们选的$a'$满足$a' - a < \frac{\varepsilon}{4M}$，因此：
   $$2M \cdot (a' - a) < 2M \cdot \frac{\varepsilon}{4M} = \frac{\varepsilon}{2}$$

4. 合并结果，满足可积条件
   把两部分的差加起来：
   $$U(P,f) - L(P,f) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$

   这就说明，对任意$\varepsilon>0$，我们找到了$[a,b]$的一个划分$P$使得达布和的差小于$\varepsilon$。根据Riemann可积的充要条件，$f$在$[a,b]$上Riemann可积。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者TEuler27