已知交换环上整元素的单多项式与有限生成模定义等价，如何证明其构成环？

嘿，这个问题用有限生成模的定义来证真的很顺畅，我来一步步给你拆解清楚：

首先先明确咱们的前提：假设R是交换环，S是R的扩张环（就是R作为子环嵌在S里，运算规则都兼容）。题目已经说了，S里的元素s是R上的整元素，等价于存在S中的有限生成R-子模M，使得sM⊆M——咱们就用这个模的定义来证明所有整元素构成S的子环。

要成为子环，得满足几个核心条件：包含加法单位元0、乘法单位元1（只要S带1，扩张环一般都带），对加法、乘法封闭，还要对加法逆元封闭（或者说对减法封闭）。咱们一个个来：

1. 0和1都是整元素 #

• 对0：直接取M=R（这是S里的有限生成R-模，生成元就是1），显然0乘M里的任何元素都是0，肯定在M里，也就是0*M⊆M，完全符合整元素的定义，所以0是整元素。
• 对1：同样取M=R，1乘M里的元素还是元素本身，所以1*M=M⊆M，完美满足，1也是整元素。

2. 整元素的和仍是整元素 #

假设a和b都是R上的整元素，根据定义：

• 存在有限生成R-模M⊆S，使得aM⊆M（a作用在M上不会跑出M）；
• 存在有限生成R-模N⊆S，使得bN⊆N（同理b作用在N上也不会跑出N）。

现在咱们造一个新的R-模：MN = {m₁n₁ + m₂n₂ + ... + mₖnₖ | 每个mᵢ∈M，nᵢ∈N}——说白了就是M里的元素和N里的元素相乘再求和的集合。因为M是有限生成的（比如生成元是m₁到mₜ），N是有限生成的（生成元是n₁到nₛ），那MN的生成元就是所有的mᵢnⱼ（i从1到t，j从1到s），总共t*s个，所以MN也是有限生成的R-模，这点很关键。

现在看(a+b)作用在MN上的结果：
随便拿MN里的一个元素mn（m∈M，n∈N），(a+b)mn = amn + bmn。

• 因为aM⊆M，所以am属于M，那amn=(am)n就属于M*N=MN；
• 同理，bN⊆N，所以bn属于N，那bmn=m(bn)也属于MN。

所以(a+b)作用在MN的任意元素上，结果都还在MN里，也就是(a+b)MN⊆MN。根据整元素的定义，a+b是R上的整元素，加法封闭搞定！

3. 整元素的乘积仍是整元素 #

还是用刚才的a、b、M、N，同样看MN这个模：
拿MN里的任意元素mn，ab mn = a(b mn)。

• 首先，bN⊆N，所以bn属于N，那b mn = m(bn)就属于M*N=MN；
• 然后，aM⊆M，所以a作用在MN里的这个元素m(bn)上，得到a(m(bn))=(am)(bn)，而am属于M，bn属于N，所以这个结果还是在MN里。

也就是说ab作用在MN的任意元素上，结果都在MN里，即ab MN⊆MN。所以ab也是R上的整元素，乘法封闭也搞定了。

4. 整元素的加法逆元仍是整元素 #

刚才差点忘了这个！如果a是整元素，那-a是不是整元素？
当然是。取a对应的那个有限生成R-模M，因为aM⊆M，那(-a)M = -aM，而M是R-模，对负元封闭（因为R是交换环，模里的元素取负还是模里的元素），所以-aM⊆M，也就是(-a)M⊆M。根据定义，-a是整元素，加法逆元存在，意味着整元素集合对减法也封闭。

总结 #

现在整元素集合满足：非空（包含0、1），对加法、乘法、减法都封闭，完全符合子环的定义，所以这些整元素构成S的一个子环。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者eduardogbg