非周期铺砌中无界连通铺块组合的等距副本存在性问询

这是个相当有意思的几何拓扑问题，咱们先把核心问题再明确一遍：

对于用有限种铺块实现的平面非周期铺砌（定义为不存在非恒等的平面等距变换能将整个铺砌映射到自身，比如经典的彭罗斯铺砌），是否必然存在一个由铺块组成的连通无界闭集（角接触也视为连通），且该集合在铺砌中存在至少一个等距副本？

直接给结论：是的，这样的无界连通集必然存在，甚至可以得到更强的结论——这类铺砌中存在无穷多组这样的重复无界连通结构。下面从几个角度解释原因：

1. 非周期≠完全无重复 #

首先要厘清一个误区：非周期铺砌的定义是整体没有非恒等的等距对称性，但这完全不代表局部（甚至大尺度的无界局部）没有重复结构。比如彭罗斯铺砌，虽然整个平面没有平移、旋转对称性，但里面存在大量重复的局部图案，甚至是无限长的无界条带结构，这些条带在铺砌的不同位置能找到等距副本。

2. 动力系统视角的极小性 #

从拓扑动力系统的角度看，有限铺块集生成的非周期铺砌对应的系统是极小系统——简单来说，铺砌中的任何一个局部图案，都会在铺砌中无穷多次出现。基于这个性质，我们可以构造出目标无界集：

• 任选一个方向（比如x轴正方向），沿着这个方向逐步取铺块序列；
• 由于铺块种类有限，根据鸽巢原理，一定存在重复出现的局部图案块；
• 把这些重复的图案块沿着选定方向串联起来（利用铺砌的连通性，即使是角接触也能形成连通链），就得到了一个无界的连通闭集；
• 而因为这些局部图案本身是重复出现的，我们在铺砌的其他位置用同样的方式串联，就能得到这个无界集的等距副本。

3. 重复定理的直接支持 #

更严谨的依据是铺砌理论中的重复定理：对于有限铺块的非周期铺砌，任意给定一个尺度k，都存在一个半径为k的圆形区域内的图案，它会在铺砌中无穷多次出现。我们可以把这些重复的图案沿着某个方向依次连接，形成一个无限延伸的连通结构——这个结构本身是无界的，并且必然存在等距副本（因为组成它的局部图案是重复的）。

至于你提到的“角接触视为连通”的定义，其实完全不影响结论：即使只允许角接触，我们依然能构造出由铺块角-角连接而成的无限链，这类链在非周期铺砌中必然存在重复的等距副本。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John Samples