求证函数$f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$属于$C^{1,1}_1$的方法咨询

嘿，我来帮你把这步推导补全！你已经走对了方向，只是在后续的放大步骤里可以换个更精准的方式，咱们一步步来：

首先，我们重新梳理共轭有理化的核心过程：
$$
\begin{align*}
\left|f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{y})\right| &= \left| \sqrt{1+\Vert\mathbf{x}\Vert^2} - \sqrt{1+\Vert\mathbf{y}\Vert^2} \right| \
&= \frac{\left| (1+\Vert\mathbf{x}\Vert^2) - (1+\Vert\mathbf{y}\Vert^2) \right|}{\sqrt{1+\Vert\mathbf{x}\Vert^2} + \sqrt{1+\Vert\mathbf{y}\Vert^2}} \
&= \frac{\left| \Vert\mathbf{x}\Vert^2 - \Vert\mathbf{y}\Vert^2 \right|}{\sqrt{1+\Vert\mathbf{x}\Vert^2} + \sqrt{1+\Vert\mathbf{y}\Vert^2}}
\end{align*}
$$

接下来分两步处理分子和分母：

• 对分子做平方差分解：$\left| \Vert\mathbf{x}\Vert^2 - \Vert\mathbf{y}\Vert^2 \right| = \left| \Vert\mathbf{x}\Vert - \Vert\mathbf{y}\Vert \right| \cdot (\Vert\mathbf{x}\Vert + \Vert\mathbf{y}\Vert)$
• 对分母做下界估计：因为 $\sqrt{1+\Vert\mathbf{x}\Vert^2} \geq \sqrt{\Vert\mathbf{x}\Vert^2} = \Vert\mathbf{x}\Vert$，同理 $\sqrt{1+\Vert\mathbf{y}\Vert^2} \geq \Vert\mathbf{y}\Vert$，所以分母满足 $\sqrt{1+\Vert\mathbf{x}\Vert^2} + \sqrt{1+\Vert\mathbf{y}\Vert^2} \geq \Vert\mathbf{x}\Vert + \Vert\mathbf{y}\Vert$

把这两个结果代入分式，做放大处理：
$$
\frac{\left| \Vert\mathbf{x}\Vert^2 - \Vert\mathbf{y}\Vert^2 \right|}{\sqrt{1+\Vert\mathbf{x}\Vert^2} + \sqrt{1+\Vert\mathbf{y}\Vert^2}} \leq \frac{\left| \Vert\mathbf{x}\Vert - \Vert\mathbf{y}\Vert \right| \cdot (\Vert\mathbf{x}\Vert + \Vert\mathbf{y}\Vert)}{\Vert\mathbf{x}\Vert + \Vert\mathbf{y}\Vert}
$$

这里分情况讨论：

• 若 $\Vert\mathbf{x}\Vert + \Vert\mathbf{y}\Vert = 0$，则 $\mathbf{x}=\mathbf{y}=\mathbf{0}$，此时 $|f(\mathbf{x})-f(\mathbf{y})|=0$，显然满足结论；
• 若 $\Vert\mathbf{x}\Vert + \Vert\mathbf{y}\Vert > 0$，分子分母的 $\Vert\mathbf{x}\Vert + \Vert\mathbf{y}\Vert$ 可直接约掉，得到：
  $$\left|f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{y})\right| \leq \left| \Vert\mathbf{x}\Vert - \Vert\mathbf{y}\Vert \right|$$

最后，用上你提到的反向三角不等式：$\left| \Vert\mathbf{x}\Vert - \Vert\mathbf{y}\Vert \right| \leq \Vert \mathbf{x} - \mathbf{y} \Vert$，代入后就得到了最终要证明的结论：
$$|f(\mathbf{x})-f(\mathbf{y})| \leq \Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert$$

这样就完美证明了 $f \in C^{1,1}_1$ 啦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sorey