微分几何课程作业求助：证明u(t)∧v(t)为常向量

嘿，这个问题其实很好解决，核心就是用叉乘的求导法则，一步步推导出它的导数为零就行——毕竟导数为零的向量函数肯定是常向量嘛。我给你拆解一下每一步：

1. 回忆叉乘的求导公式
   对于两个可微的$\mathbb{R}^3$向量函数$\boldsymbol{u}(t)$和$\boldsymbol{v}(t)$，它们叉乘的导数满足：
   $$(\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v})'(t) = \boldsymbol{u}'(t) \wedge \boldsymbol{v}(t) + \boldsymbol{u}(t) \wedge \boldsymbol{v}'(t)$$
   这是向量函数求导的基本法则，和普通乘积求导的“莱布尼茨法则”类似，只不过叉乘有顺序要求。

2. 代入题目给定的导数表达式
   题目里已经给出：
   $$\boldsymbol{u}'(t) = a\boldsymbol{u}(t) + b\boldsymbol{v}(t)$$
   $$\boldsymbol{v}'(t) = c\boldsymbol{u}(t) - a\boldsymbol{v}(t)$$
   把这两个式子代入叉乘的导数公式里，拆成两项分别计算：

   • 第一项：$\boldsymbol{u}'(t) \wedge \boldsymbol{v}(t) = (a\boldsymbol{u} + b\boldsymbol{v}) \wedge \boldsymbol{v}$
     用叉乘的线性性质展开：$a\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v} + b\boldsymbol{v} \wedge \boldsymbol{v}$
     这里要记住任何向量和自身的叉乘都是零向量，也就是$\boldsymbol{v} \wedge \boldsymbol{v} = 0$，所以第一项简化为：$a\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v}$

   • 第二项：$\boldsymbol{u}(t) \wedge \boldsymbol{v}'(t) = \boldsymbol{u} \wedge (c\boldsymbol{u} - a\boldsymbol{v})$
     同样用线性性质展开：$c\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{u} - a\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v}$
     同理，$\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{u} = 0$，所以第二项简化为：$-a\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v}$

3. 合并两项并化简
   把上面两个结果加起来：
   $$(\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v})'(t) = a\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v} - a\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v} = 0$$

4. 结论推导
   既然$\boldsymbol{u}(t) \wedge \boldsymbol{v}(t)$的导数是零向量，说明它的每个分量函数的导数都为零。根据一元函数的结论：区间上导数为零的可微函数是常数函数，所以$\boldsymbol{u}(t) \wedge \boldsymbol{v}(t)$的每个分量都是常数，整体就是$\mathbb{R}^3$中的常向量。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jmoore00