tautological丛的射影化：Grassmannian上商丛射影丛的描述问询

嘿，这个问题问得很到位，我来给你理清楚这个射影丛的来龙去脉：

首先先回顾下背景：$Gr(k,n)$是$n$维线性空间（默认复空间，实空间情况类似）中所有$k$维子空间构成的Grassmannian，它上面的 tautological商丛$Q$，每个点$V \in Gr(k,n)$（对应一个$k$维子空间$V$）处的纤维是商空间$\mathbb{C}^n/V$，维度是$n-k$。

射影丛$P(Q)$的定义是把$Q$的每个纤维都做射影化，也就是对每个$V$，$P(Q)$在$V$处的纤维是$P(\mathbb{C}^{n/V)$——这是一个$(n-k-1)$维射影空间。从几何参数化的角度看，$P(Q)$里的每个点其实对应**$\mathbb{C}}n$中的一个旗$V \subset W$**，其中$\dim V = k$，$\dim W = k+1$。换句话说，它就是旗流形$Fl(k, k+1; n)$，专门用来描述$n$维空间里“$k$维子空间包含于$k+1$维子空间”这种嵌套结构的集合。

答案是：一般不是，只有特殊情况例外。

Grassmannian$Gr(m,n)$的核心是参数化$n$维空间里的单个$m$维子空间，而$P(Q)$参数化的是有包含关系的子空间对（旗），这两者的参数化对象本质不同。只有当商丛$Q$是线丛的时候，$P(Q)$才会退化为底空间$Gr(k,n)$本身——也就是当$n-k=1$（即$n=k+1$）时，$Q$是秩1的线丛，射影化后每个纤维是单个点，此时$P(Q)=Gr(k,k+1)$，自然是Grassmannian。但只要$n>k+1$，$P(Q)$就是旗流形，不是Grassmannian。

分两种情况看：

• 如果$n=3$（也就是$k+1=n$）：此时$Gr(2,3)$就是射影平面$\mathbb{P}^{2$，商丛$Q$是秩1的线丛，$P(Q)$就是$\mathbb{P}}2$本身，也就是Grassmannian$Gr(2,3)$，这时候成立。
• 如果$n>3$：此时$P(Q)$是旗流形$Fl(2,3;n)$，参数化的是$\mathbb{C}^n$中“2维子空间包含于3维子空间”的所有嵌套对，它的维度是$3n-7$，而Grassmannian$Gr(m,n)$的维度是$m(n-m)$，比如$Gr(3,n)$维度是$3(n-3)=3n-9$，$Gr(2,n)$是$2n-4$，都和$3n-7$不相等，拓扑和代数性质也有明显区别，所以这时候$P(Q)$不是Grassmannian。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bernie