模乘法逆元唯一性证明困惑：推导$d_1≡d_1*d_2*e \mod(n)$存疑

嘿，我来帮你把这个困惑的步骤理清楚！其实这一步完全依赖模运算里的两个基础性质，咱们一步步拆解：

首先，先明确已知条件：

• 我们已经知道 (d_2 * e \equiv 1 \pmod{n})（这是题目里给出的，(d_2) 是 (e) 的模n逆元）
• 在模运算体系中，1是乘法单位元——也就是说，任何数乘以1，结果都等于它本身，放到同余式里就是：对于任意整数 (a)，都有 (a \equiv a * 1 \pmod{n})

那回到你的问题，对于 (d_1) 来说，自然满足：
(d_1 \equiv d_1 * 1 \pmod{n})

接下来就是核心的等价替换了：因为 (d_2 * e) 和1在模n下是同余的（(d_2 * e \equiv 1 \pmod{n})），所以我们可以把上面等式右边的1，替换成 (d_2 * e)，替换后就得到：
(d_1 \equiv d_1 * (d_2 * e) \pmod{n})

而模运算里乘法结合律是成立的，所以括号可以直接去掉，就变成了你疑惑的那个式子：
(d_1 \equiv d_1 * d_2 * e \pmod{n})

用你的例子验证一下 #

你给出的例子里，(n=7)，(d_2=10)，(e=5)，显然 (105=50 \equiv 1 \pmod{7})。那代入式子：
左边是 (d_1=3)，右边是 (3105=150)，计算 (150 \mod7)：721=147，150-147=3，确实和左边的3相等，完全符合这个推导。

顺带提一句，这一步其实是为了证明逆元唯一性做铺垫：接下来你可以把 (d_1d_2e) 重新结合成 ((d_1e)d_2)，而因为 (d_1e \equiv1 \pmod{n})，所以就变成 (1d_2 \equiv d_2 \pmod{n})，这样就能推出 (d_1 \equiv d_2 \pmod{n})，也就证明了模逆元的唯一性啦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user8848592