开普勒问题与各向同性简谐振子的关联及守恒量推导技术问询

咱们来仔细拆解开普勒问题和各向同性简谐振子的拉格朗日量、对称变换、守恒量，以及它们之间的关联细节：

• 开普勒问题的拉格朗日量：L^K = \frac{1}{2}\dot{q}_i\dot{q}_i + \frac{k}{q}
• 各向同性简谐振子的拉格朗日量：L^H = \frac{1}{2}\dot{q}_i\dot{q}_i - \frac{1}{2}kq_i q_i

我们统一考虑形式为 q_i \rightarrow q_i + \lambda_{(jk)} g_{i(jk)} 的坐标变换，针对两个问题的具体变换生成元如下：

• 开普勒问题：采用矢量型的变换参数\lambda_j，对应的生成元为
  g^K_{ij} = q_i\dot{q}_j - (1+\beta)\dot{q}_i q_j + \beta \delta_{ij}\mathbf{q}.\mathbf{\dot{q}}
• 各向同性简谐振子：采用二阶张量型的变换参数\lambda_{jk}，对应的生成元为
  g^H_{ijk} = \delta_{ij}\dot{q}_k + \beta\delta_{ik}\dot{q}_j

利用诺特定理（基于变换下拉格朗日量的不变性或准不变性），我们可以推导出对应的守恒量：

• 开普勒问题的守恒荷：
  Q^K = -(1+\beta)\left(\mathbf{q}.\mathbf{\dot{q}}\dot{q}_j - \dot{q}^2 q_j + k q_j/q \right)
• 各向同性简谐振子的守恒荷Q^H原文存在截断，我们可以从以下几个角度展开探讨二者的关联及推导细节：

• 变换参数的维度对应：开普勒问题用3维矢量参数，简谐振子用9维二阶张量参数。可以尝试将简谐振子的张量参数\lambda_{jk}取为反对称形式，看看是否能缩并关联到开普勒的矢量参数，找到二者对称变换的内在联系。
• 守恒量的结构对比：开普勒的Q^K包含了速度与位置的点积、速度平方项，以及和开普勒势能相关的项；而简谐振子的势能是二次型，其守恒量预期会包含位置与速度的交叉组合项。我们可以从诺特定理的标准公式Q = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} g_{i(jk)}出发，完整推导Q^H，再对比Q^K的结构差异与共性。
• β参数的物理意义：两个生成元中都引入了β参数，我们可以分析不同β取值（比如β=0或β=-1）时，守恒量会退化为哪些经典已知的守恒量（比如开普勒问题的Runge-Lenz矢量），以此验证推导的合理性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者LFT