为何Hubbard模型无法精确求解？哈密顿量对角化相关疑问

首先直接回应你的核心疑问：T和U不对易确实是Hubbard哈密顿量$H=T+U$无法直接对角化的根本原因，但这和“解空间维度不同”完全无关——T和U定义在同一个希尔伯特空间上，维度是完全一致的，下面我分点解释清楚：

1. 为什么$[T,U] \neq 0$是核心原因？ #

先回顾两个项的物理意义：

• 动能项$T=-t\sum_{\langle ij\rangle\sigma} [c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma} + h.c.]$描述电子在相邻格点间的跃迁，它的作用是改变电子的空间位置；
• 在位相互作用项$U=u\sum_{i=1}^N n_{i\uparrow}n_{i\downarrow}$描述同一格点上自旋相反电子的库仑排斥，它只关心每个格点的电子占据情况，不改变电子位置。

不对易的本质是：T的操作会改变U的“作用对象”。举个简单的例子：取一个态$|i\uparrow, j\downarrow\rangle$（格点i有一个自旋向上的电子，格点j有一个自旋向下的电子）：

• 先作用T再作用U：T会把这个态变成$|j\uparrow, i\downarrow\rangle$（电子i和j交换位置），此时U作用在这个态上，格点i和j各有一个电子，U的本征值是0，最终结果是$0 \cdot |j\uparrow, i\downarrow\rangle$；
• 先作用U再作用T：U作用在原态上，每个格点只有一个电子，本征值是0，结果还是原态，再作用T得到$|j\uparrow, i\downarrow\rangle$。

显然两次操作的结果不同，说明$[T,U] \neq 0$。而量子力学中，只有当两个算符对易时，它们才存在共同的本征态集——也就是说，不存在一组基矢能同时让T和U都成为对角矩阵。既然T和U没有共同本征基，它们的和$H=T+U$自然没法直接用其中任何一个的本征基来对角化，这就是必须用微扰论或其他近似方法的原因。

2. 关于“解空间维度”的澄清 #

你担心的“解空间维度不同”是一个误解：T和U都是定义在同一个希尔伯特空间上的算符，它们的解空间（即整个系统的希尔伯特空间）维度完全相同。

比如对于N个格点的系统，每个格点有三种可能的状态：空、自旋向上电子、自旋向下电子，整个希尔伯特空间的维度是$3^N$（如果不固定总电子数）；如果固定总电子数为$N_e$，维度则是满足$\sum_i (n_{i\uparrow}+n_{i\downarrow})=N_e$的所有态的数目。不管哪种情况，T和U都是作用在这个空间上的算符，不存在维度差异。

不对易和空间维度无关，只和算符的作用方式是否相容有关。

3. 补充：T和U的本征态特点 #

你提到了T的本征方程$T|n\rangle=T_n|n\rangle$，这里补充两者的本征态差异：

• T的本征态是布洛赫态，是电子在整个晶格上的扩展态，对应确定的动量k，本征值是色散关系$\varepsilon(k) = -2t\sum_{\delta} \cos(k\cdot\delta)$（$\delta$是晶格近邻矢量），描述电子的集体运动；
• U的本征态是局域态，是每个格点的电子占据数$(n_{i\uparrow},n_{i\downarrow})$完全确定的态，比如某个格点同时有↑和↓电子、其他格点空的态，U对它的本征值是u，而单个电子的局域态本征值是0。

这两类态完全没有重叠：布洛赫态是电子在所有格点上的叠加，而U的本征态是电子局域在个别格点上的态。这种本征态的完全分离，正是T和U不对易的直观体现，也导致了H的本征态是两类态的混合，无法直接解析对角化。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jack