满足2A²-A⁴=I的7阶矩阵A的Jordan标准形求解（双特征值几何重数均为3）

我们一步步拆解这个问题：

步骤1：锁定可能的特征值 #

已知矩阵( A )满足方程( 2A^2 - A^4 = I )，整理后得到( A^4 - 2A^2 + I = 0 )，这是( A )的零化多项式，进一步因式分解为( (A - I)^2(A + I)^2 = 0 )。

设( \lambda )是( A )的特征值，那么( \lambda )必须满足零化多项式的根方程：
( (\lambda^2 - 1)^2 = 0 )
解得( \lambda = 1 )或( \lambda = -1 )，正好对应题目中提到的两个不同特征值。

步骤2：结合几何重数推导Jordan块结构 #

题目说明每个特征值的几何重数均为3，几何重数的本质是对应特征值的Jordan块数量。也就是说：

• 特征值( 1 )对应3个Jordan块；
• 特征值( -1 )对应3个Jordan块。

因为( A )是7阶矩阵，所有Jordan块的阶数之和必须为7。同时，零化多项式中( (\lambda-1)^2 )和( (\lambda+1)^2 )的次数都是2，所以每个Jordan块的阶数最多为2（否则矩阵的最小多项式会不整除零化多项式）。

基于以上限制，分两种情况讨论：

情况1：特征值( 1 )含一个2阶Jordan块，其余为1阶块 #

特征值( 1 )的3个块阶数和为( 2 + 1 + 1 = 4 )，那么特征值( -1 )的3个块阶数和为( 7 - 4 = 3 )，只能是三个1阶块（( 1+1+1=3 )）。

对应的Jordan标准形（块顺序可任意调整）：

[1 1 0 0 0 0 0]
[0 1 0 0 0 0 0]
[0 0 1 0 0 0 0]
[0 0 0 1 0 0 0]
[0 0 0 0 -1 0 0]
[0 0 0 0 0 -1 0]
[0 0 0 0 0 0 -1]

情况2：特征值( -1 )含一个2阶Jordan块，其余为1阶块 #

特征值( -1 )的3个块阶数和为( 2 + 1 + 1 = 4 )，特征值( 1 )的3个块阶数和为( 7 - 4 = 3 )，即三个1阶块。

对应的Jordan标准形（块顺序可任意调整）：

[1 0 0 0 0 0 0]
[0 1 0 0 0 0 0]
[0 0 1 0 0 0 0]
[0 0 0 -1 1 0 0]
[0 0 0 0 -1 0 0]
[0 0 0 0 0 -1 0]
[0 0 0 0 0 0 -1]

验证合理性 #

这两种形式都完全满足题目要求：

1. 零化多项式条件：所有Jordan块的最小多项式都整除( (\lambda-1)^2(\lambda+1)2 )；
2. 几何重数条件：每个特征值对应3个Jordan块，几何重数为3；
3. 阶数条件：总阶数为7，符合7×7矩阵的规格。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tanutanu