R²中两单位圆并集构成的拓扑空间是否为局部欧几里得空间？

咱们接着你卡壳的地方往下捋，把最后一步的矛盾点说透：

首先先明确前提：你已经取了原点(0,0)在S中的邻域V，且V包含于原点的单位开球内。假设S是局部欧几里得空间，那根据定义，V必然同胚于某个$\mathbb{R}^n$的开集。

先确定维数n：

• 观察S上除原点外的任意点，它们的邻域都能同胚于$\mathbb{R}^1$的开区间（毕竟单个圆去掉一点后就是和线段同胚的一维空间），所以如果S是局部欧几里得的，维数n只能是1。
• 而且V是连通的（因为两个圆在原点交汇，原点的邻域必然同时包含两个圆上靠近原点的部分，所以是连通的），因此对应的$\mathbb{R}^1$开集也必须是连通的，也就是一个开区间。

接下来就是关键的矛盾点：

• 把V去掉原点后，你会发现它有4个连通分支——左边圆上原点的上半段、左边圆上原点的下半段、右边圆上原点的上半段、右边圆上原点的下半段，这四个部分互相不连通。
• 但如果V同胚于某个开区间$I \subset \mathbb{R}^1$，那么把I中对应原点的那个点去掉后，只会剩下2个连通分支（开区间去掉任意一点都会分成两个不相交的开区间）。

而同胚映射是保持连通分支数量的——如果$f: V \to I$是同胚，那么$f(V \setminus {(0,0)})$就等于$I \setminus {f(0,0)}$，两者的连通分支数必须完全一致，但4≠2，这就直接推翻了“V同胚于$\mathbb{R}^1$开集”的假设。

所以结论就是：S不是局部欧几里得空间。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JacobsonRadical