求定积分快捷解法咨询：∫₀¹[x/((x²+x+4)√(4x²+4x+5))]dx

嘿，你当前的拆分思路已经很靠谱了！不过确实有更简洁的换元技巧能帮你少走几步，先看看我整理的快捷解法，再对比你现有的步骤~

快捷换元法 #

先观察根号里的式子：$4x^{2+4x+5=(2x+1)}2+4$，分母里的$x^{2+x+4=\frac{(2x+1)}2+15}{4}$，我们直接令$t=2x+1$，换元会更直接：

• 当$x=0$时，$t=1$；$x=1$时，$t=3$
• 同时$x=\frac{t-1}{2}$，$dx=\frac{1}{2}dt$

代入积分后化简：
$$
\begin{align*}
\int_{0}^{1} \frac{x}{(x^{2+x+4)\sqrt{4x}2+4x+5}},dx&=\int_{1}^{3} \frac{\frac{t-1}{2}}{\left(\frac{(t-1)^{2}{4}+\frac{t-1}{2}+4\right)\sqrt{t}2+4}} \cdot \frac{1}{2}dt\
&=\int_{1}^{3} \frac{t-1}{(t^2+15)\sqrt{t2+4}}dt
\end{align*}
$$

接下来把积分拆成两个部分：
$$
\frac{1}{2}\int_{1}^{3} \frac{2t}{(t^2+15)\sqrt{t2+4}}dt - \int_{1}^{3} \frac{1}{(t^2+15)\sqrt{t2+4}}dt
$$

第一部分积分计算 #

令$u=\sqrt{t^{2+4}$，则$u}2=t^2+4$，$t dt=u du$。当$t=1$时$u=\sqrt{5}$，$t=3$时$u=\sqrt{13}$。代入后：
$$
\frac{1}{2}\int_{\sqrt{5}}^{\sqrt{13}} \frac{2u}{(u^{2+11)u}du=\int_{\sqrt{5}}}{\sqrt{13}} \frac{1}{u^2+11}du
$$
这部分和你原来的计算一致，结果为$\frac{1}{\sqrt{11}}\left(\arctan\left(\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{11}}\right)-\arctan\left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}}\right)\right)$

第二部分积分计算 #

对于$\int \frac{1}{(t^2+15)\sqrt{t2+4}}dt$，我们用倒代换：令$t=\frac{2}{s}$，则$dt=-\frac{2}{s^{2}ds$，$\sqrt{t}2+4}=\frac{2\sqrt{s^2+1}}{s}$（因$t\in[1,3]$，$s>0$）。代入后：
$$
\begin{align*}
\int \frac{1}{(t^2+15)\sqrt{t2+4}}dt&=-\int \frac{s}{(4+15s^2)\sqrt{s2+1}}ds
\end{align*}
$$
再令$v=\sqrt{s^2+1}$，则$s ds=v dv$，进一步化简为：
$$
-\int \frac{1}{15v^2-11}dv
$$
这是标准有理函数积分，结果为$-\frac{1}{2\sqrt{165}}\ln\left|\frac{\sqrt{15}v-\sqrt{11}}{\sqrt{15}v+\sqrt{11}}\right|+C$，最后代回$s$和$t$，代入上下限$1$和$3$即可。

这个换元直接简化了分母和根号里的式子，避免了一开始拆分分子时的系数计算，步骤更连贯~

你的计算步骤整理 #

你原来的拆分思路是可行的，这里帮你整理成更清晰的格式：

拆分积分得到：
$$\int_{0}^{{1}\left(\frac{8x+4}{8(x}2+x+4)\sqrt{4x^{2+4x+5}}-\frac1{2(x}2+x+4)\sqrt{4x^2+4x+5}}\right)dx$$
对于第一个积分，令$$u=\sqrt{4x^{2+4x+5}$$，则$$du=\frac{8x+4}{2\sqrt{4x}2+4x+5}}\ dx$$，可得：
$$\int_{0}^{{1}\frac{8x+4}{8(x}2+x+4)\sqrt{4x^2+4x+5}}\ dx = \frac14\int_{\sqrt5}^{\sqrt{13}} \frac1{x^2+x+4}du$$
已知$$x^{2+x+4=\frac{u}2+11}4$$，将积分转换为u的形式：
$$\int_{\sqrt5}^{{\sqrt{13}}\frac1{u}2+11}\ du=\frac{\sqrt{11}}{11}\int_{\sqrt5}^{{\sqrt{13}}\frac1{\sqrt{11}\left(\left(\frac{u}{\sqrt{11}}\right)}2+1\right)},du$$
计算不定积分可得：$$\frac1{\sqrt{11}}\arctan\left(\sqrt{\frac{4x^{2+4x+5}{11}}\right)\bigg|_{0}}{1}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者kiyomi