如何构造已知零点的多项式？含指定x截距及图像穿越特性的构造方法

嘿，这事儿不难，我给你拆解明白～

核心就是围绕零点的因式和重数来操作：

• 先把所有零点列出来，每个零点$r$对应一个基础因式(x - r)（如果零点是0的话，直接用x就行）
• 接着看函数图像在零点处的行为：
  • 要是图像穿过x轴，这个零点对应的因式就要用奇数次幂（比如1、3次，选1次是最常用的简化方式）
  • 要是图像不穿过x轴（只触碰一下就反弹），对应的因式就要用偶数次幂（比如2、4次，选2次最省心）
• 最后把这些因式乘起来，再乘以一个任意非零常数$a$（这个$a$不影响零点和穿轴性质，只是用来调整图像的开口方向、拉伸或压缩程度），就得到目标多项式了。通用公式是：
  f(x) = a(x - r₁)^m₁(x - r₂)^m₂...(x - rₙ)^mₙ
  这里$m_i$就是对应零点$r_i$的重数（也就是因式的次数）

现在要求零点是0、2、5，且x=0处穿轴，x=2和5处不穿轴，咱们选最简单的重数来构造：

• 零点0：需要穿轴，用奇数次幂，选最小的1次，对应因式x
• 零点2：不需要穿轴，用偶数次幂，选最小的2次，对应因式(x - 2)²
• 零点5：同样不需要穿轴，选2次幂，对应因式(x - 5)²
  常数$a$选1最方便，所以最终的多项式就是：
  f(x) = x(x - 2)²(x - 5)²

要是你想调整图像的开口或者拉伸程度，比如把$a$换成-3，得到f(x) = -3x(x - 2)²(x - 5)²，它的零点和穿轴性质还是完全一样的，只是开口朝下、图像被拉伸了3倍而已。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者CodeMan5000