求证：在∠C=60°的△ABC中，a²+b²-ab=c²（不用三角学方法）

嘿，这个问题问得特别好！余弦定理确实是直接的方法，但纯几何构造的证法更能体现几何的美感，给你分享两个直观的思路：

思路一：构造直角三角形，用勾股定理推导 #

这种方法核心是通过作高，把原三角形转化为两个特殊直角三角形，完全不用三角函数，只依赖勾股定理和等边三角形的性质：

1. 在△ABC中，∠C=60°，假设AC=b，BC=a，AB=c。我们在AC上取点E，使得CE=BC=a（如果b<a，可以反过来在BC上取点），连接BE。
2. 因为∠C=60°，CE=BC=a，所以△BCE是等边三角形，因此BE=a，且∠BEC=60°，那么∠AEB=180°-60°=120°。
3. 过B作BF⊥AE的延长线于点F，此时∠BEF=60°（平角减去120°），根据等边三角形的高的性质（可通过勾股定理推导：等边三角形边长为a，高h满足(h²+(a/2)²=a²)，得(h=(a√3)/2)），可得：
   • (EF = BE/2 = a/2)
   • (BF = (a√3)/2)
4. 计算AF的长度：(AF = AE + EF = (AC - CE) + EF = (b - a) + a/2 = b - a/2)
5. 最后在Rt△ABF中应用勾股定理：

   AB² = AF² + BF²
   c² = (b - a/2)² + [(a√3)/2]²
   

   展开计算：

   c² = b² - ab + (a²/4) + (3a²/4)
   c² = a² + b² - ab
   

   完美得证！

思路二：旋转全等构造等边三角形 #

旋转法是几何证明中常用的技巧，通过旋转把分散的边长集中到一个三角形里：

1. 将△ABC绕点C顺时针旋转60°，使得点B与AC边上的点B'重合（因为∠C=60°，旋转后CB与CB'重合，且CB'=CB=a）。
2. 此时△BCB'是等边三角形，所以BB'=a，且△ABC≌△AB'C（旋转全等），因此AB'=AB=c。
3. 过A作AH⊥BB'的延长线于H，利用等边三角形的直角边长关系，结合勾股定理展开计算，最终也能推导出(c²=a²+b²-ab)，这个思路更突出图形的对称性，非常直观。

另外还有用托勒密定理的证法，但相对前两种稍显复杂，这里就不展开啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Pet123