你提到对角化二次型的特征值太繁琐，确实不用走这条路——有两种更简便的方法可以快速算出这个积分：

方法一：配方法+变量替换 #

先对二次型$4x^2+4xy+5y2$做配方，其实一眼就能拆成完全平方：
$$4x^2+4xy+5y2=(2x+y)^2+(2y)2$$

接下来做变量替换简化积分：
令 $u=2x+y$，$v=2y$，解出原变量：
$$x=\frac{u}{2}-\frac{v}{4},\quad y=\frac{v}{2}$$

计算这个替换的雅可比行列式（绝对值）：
$$\det\left(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right)=\left|\begin{vmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\0&\frac{1}{2}\end{vmatrix}\right|=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}-0=\frac{1}{4}$$

原积分就转化为极坐标下好算的标准高斯积分：
$$\int_{\Bbb R^2}e{-(u^2+v2)}\times\frac{1}{4}dudv$$

我们知道二维标准高斯积分$\int_{\Bbb R^2}e{-(u^2+v2)}dudv=\pi$（用极坐标替换$u=r\cos\theta,v=r\sin\theta$，积分结果是$2\pi\int_0^\infty re^{-r2}dr=\pi$），所以代入后得到：
$$\frac{1}{4}\times\pi=\frac{\pi}{4}$$

方法二：正定二次型的高斯积分公式 #

对于正定对称矩阵$A$，$n$维高斯积分有现成公式：
$$\int_{\mathbb{R}^n}e{-\mathbf{x}^T A\mathbf{x}}d\mathbf{x}=\sqrt{\frac{\pi^n}{\det A}}$$

首先写出题目中二次型对应的对称矩阵$A$：
$$A=\begin{pmatrix}4&2\2&5\end{pmatrix}$$
（因为二次型展开为$4x^2+2xy+2yx+5y2$，所以非对角元是交叉项系数的一半）

计算矩阵的行列式：
$$\det A=4\times5-2\times2=20-4=16$$

代入公式（$n=2$）：
$$\sqrt{\frac{\pi^2}{16}}=\frac{\pi}{4}$$

两种方法得到的结果一致，都不用去算特征值，是不是省心多了？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Eric