多项式相等是否蕴含矩阵多项式相等？矩阵多项式乘积性质求证

先给明确结论：无论B是任意实/复方阵，还是限定为非负方阵，只要实系数多项式满足 ( f(x) = h(x)g(x) ) 对所有 ( x \in \mathbb{R} ) 成立，就一定有 ( f(B) = h(B)g(B) )。下面是严谨的推导和关键逻辑：

关键前提：多项式恒等定理 #

首先要理清一个核心点：如果两个实系数多项式在无穷多个点（这里是全体实数）上的取值完全相等，那么这两个多项式作为形式多项式是完全相同的——也就是说它们对应次数的系数全部相等。

具体来说，假设：

• ( f(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k )
• ( h(x) = \sum_{i=0}^m b_i x^i )
• ( g(x) = \sum_{j=0}^p c_j x^j )

因为 ( f(x) = h(x)g(x) ) 对所有 ( x \in \mathbb{R} ) 成立，那么对每个次数 ( k )，( f(x) ) 的系数 ( a_k ) 必然等于 ( h(x) ) 和 ( g(x) ) 系数的卷积结果：
[ a_k = \sum_{i+j=k} b_i c_j ]
（当 ( i > m ) 或 ( j > p ) 时，默认 ( b_i=0 ) 或 ( c_j=0 )）

矩阵多项式的等式证明 #

根据矩阵多项式的定义，我们直接构造对应的矩阵多项式：

• ( f(B) = \sum_{k=0}^n a_k B^k )
• ( h(B) = \sum_{i=0}^m b_i B^i )
• ( g(B) = \sum_{j=0}^p c_j B^j )

现在计算 ( h(B)g(B) )，利用方阵乘法的分配律和结合律（这是所有方阵都满足的基本性质，和矩阵是否非负无关）展开：
[
\begin{align*}
h(B)g(B) &= \left( \sum_{i=0}^m b_i B^i \right) \left( \sum_{j=0}^p c_j B^j \right) \
&= \sum_{i=0}^m \sum_{j=0}^p b_i c_j B^i B^j \
&= \sum_{i=0}^m \sum_{j=0}^p b_i c_j B^{i+j}
\end{align*}
]

接下来合并同次幂的项：令 ( k = i+j )，则上式可以改写为：
[
h(B)g(B) = \sum_{k=0}^{m+p} \left( \sum_{i+j=k} b_i c_j \right) B^k
]

根据之前的多项式恒等结论，( \sum_{i+j=k} b_i c_j = a_k )，并且当 ( k > n ) 时 ( a_k = 0 )（因为 ( f(x) ) 的次数是 ( n = m+p )），因此：
[
h(B)g(B) = \sum_{k=0}^n a_k B^k = f(B)
]

额外补充说明 #

这里不需要纠结矩阵的交换性：虽然一般矩阵乘法不交换，但 ( h(B) ) 和 ( g(B) ) 都是同一个矩阵 ( B ) 的多项式，它们本身天然可交换（比如 ( B^i B^j = B^{i+j} = B^j B^i )）。不过即使不利用交换性，我们严格按照 ( h(x)g(x) ) 的顺序展开矩阵乘积，最终结果依然和 ( f(B) ) 一致，这完全依赖于多项式的系数对应关系。

举个简单例子验证：设 ( f(x) = x^2 - 1 )，( h(x) = x-1 )，( g(x) = x+1 )，对任意方阵 ( B )，( f(B) = B^2 - I )，而 ( h(B)g(B) = (B-I)(B+I) = B^2 + B - B - I^2 = B^2 - I = f(B) )，完全符合结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者matzgud_89