求解递推方程组的特征向量及通式：已得特征值，缺初始值遇阻

嘿，别纠结初始值啦——特征向量是这个递推关系对应矩阵的固有属性，和你后续要代入的初始条件完全没关系！咱们一步步来搞定你要的指定形式特征向量：

首先，先把你的递推方程组转化为矩阵形式，这是求解特征向量的关键一步：
$$\begin{pmatrix} a_{n+1} \ b_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_n \ b_n \end{pmatrix}$$
咱们把这个系数矩阵记为 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 1 \end{pmatrix}$。

步骤1：求解特征值λ=-1对应的特征向量 #

特征向量的定义是满足 $A\vec{v} = \lambda\vec{v}$ 的非零向量 $\vec{v}$，等价于求解齐次方程组 $(A - \lambda I)\vec{v} = 0$。

代入λ=-1，计算 $A - (-1)I = A + I$：
$$A + I = \begin{pmatrix} 1+1 & 2 \ 2 & 1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \ 2 & 2 \end{pmatrix}$$
对应的方程组是：
$$2x + 2y = 0 \implies x = -y$$

你要求特征向量写成「(数值, 2)^{T」的形式（这里应该是笔误，$2}T$ 指第二个分量为2的列向量），那令 $y=2$，则 $x=-2$，所以符合要求的特征向量就是：
$$\vec{v}_{-1} = \begin{pmatrix} -2 \ 2 \end{pmatrix}$$
（注：特征向量可以乘以任意非零常数，所以这个向量和 $\begin{pmatrix} -1 \ 1 \end{pmatrix}$ 是等价的，只是按你的要求调整了倍数）

步骤2：求解特征值λ=3对应的特征向量 #

同样代入λ=3，计算 $A - 3I$：
$$A - 3I = \begin{pmatrix} 1-3 & 2 \ 2 & 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \ 2 & -2 \end{pmatrix}$$
对应的方程组是：
$$-2x + 2y = 0 \implies x = y$$

按要求令第二个分量 $y=2$，则 $x=2$，所以特征向量为：
$$\vec{v}_3 = \begin{pmatrix} 2 \ 2 \end{pmatrix}$$
（同理，这个向量和 $\begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix}$ 等价，只是调整了倍数满足你的形式要求）

关键提醒 #

• 特征向量的求解只依赖于递推的系数矩阵，和初始值无关——初始值是用来确定通解中各个特征向量分量的系数的，不影响特征向量本身。
• 特征向量是一个方向，所以所有非零常数倍的向量都是对应特征值的特征向量，你可以根据需求调整倍数得到指定形式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者The Statistician