如何证明自然数集上满足a+b为奇数的关系R是等价关系？

嘿，先明确一下：一个关系要成为等价关系，必须同时满足自反性、对称性和传递性三个硬性条件，咱们逐个来验证题目里的R是否符合：

先理清楚等价关系的三个核心性质 #

• 自反性：对任意自然数a，必须有(a,a)∈R；
• 对称性：如果(a,b)∈R，那一定得有(b,a)∈R；
• 传递性：如果(a,b)∈R且(b,c)∈R，那必须有(a,c)∈R。

逐个验证关系R #

1. 自反性：直接不满足 #

随便拿个自然数a试试：a=0时，a+a=0是偶数；a=1时，a+a=2也是偶数——说白了，任何自然数a的两倍都是偶数，而R要求a+b是奇数才属于R，所以(a,a)永远不在R里。这直接违反了自反性的要求，单这一条就够说明R不是等价关系了。

2. 对称性：倒是满足的 #

假设(a,b)∈R，那a+b是奇数，而b+a和a+b是同一个数，肯定也是奇数，所以(b,a)必然也在R里，这部分没问题。

3. 传递性：同样不满足 #

举个简单的反例就清楚了：

• 取a=1（奇数），b=2（偶数）：1+2=3是奇数，所以(1,2)∈R；
• 再取c=3（奇数）：2+3=5是奇数，所以(2,3)∈R；
• 但1+3=4是偶数，所以(1,3)∉R。
  这就出现了“(a,b)和(b,c)都在R里，但(a,c)不在”的情况，传递性直接不成立。

最终结论 #

因为R既不满足自反性，也不满足传递性，所以它不是等价关系。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者IntoTheDeep