能否用链式法则求二阶导数？关于$(x⁴+10x²+1)⁹⁸$求导的疑问

嘿，这个问题问到点子上了！首先明确：链式法则完全可以用来求二阶导数，但你给出的那个公式是错误的，不能直接用$(f\circ g)''(x) = f''(g(x))*g''(x)$来计算，原因我们一步步拆解：

复合函数二阶导数的正确推导 #

我们先从一阶导数说起，复合函数$(f\circ g)(x) = f(g(x))$的一阶导数是符合链式法则的：
$$(f\circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

要求二阶导数，本质是对一阶导数再求导。这时候注意，一阶导数是两个函数的乘积：$f'(g(x))$ 和 $g'(x)$，所以需要用到乘积法则（$(uv)' = u'v + uv'$），同时对$f'(g(x))$求导时还要再次用到链式法则：

1. 设$u = f'(g(x))$，$v = g'(x)$
2. 计算$u'$：$u' = f''(g(x)) \cdot g'(x)$（链式法则）
3. 计算$v'$：$v' = g''(x)$

把这些代入乘积法则，就能得到复合函数二阶导数的正确公式：
$$(f\circ g)''(x) = f''(g(x)) \cdot [g'(x)]^2 + f'(g(x)) \cdot g''(x)$$

你之前的公式错在两点：

• 漏掉了乘积法则里的第二项$f'(g(x)) \cdot g''(x)$
• 第一项是乘以$[g'(x)]^2$（一阶导数的平方），而不是$g''(x)$

以函数$(x⁴+10x²+1)⁹⁸$为例计算二阶导数 #

我们用正确的方法来计算这个函数的二阶导数：

步骤1：拆分复合函数 #

设$g(x) = x^4 + 10x^2 + 1$，$f(u) = u^{98}$（其中$u = g(x)$）

步骤2：计算各阶导数 #

• $f'(u) = 98u^{97}$，$f''(u) = 98 \times 97 u^{96} = 9506u^{96}$
• $g'(x) = 4x^3 + 20x$，$g''(x) = 12x^2 + 20$
• $[g'(x)]^2 = (4x^3 + 20x)^2 = 16x^6 + 160x^4 + 400x^2$

步骤3：代入二阶导数公式 #

把上面的结果代入正确公式：
$$
\begin{align*}
(f\circ g)''(x) &= 9506(x^4+10x2+1)^{96} \cdot (16x^6 + 160x^4 + 400x^2) + 98(x^4+10x2+1)^{97} \cdot (12x^2 + 20) \
&= 98(x^4+10x2+1)^{96} \left[ 97(16x^6 + 160x^4 + 400x^2) + (x^4+10x2+1)(12x^2 + 20) \right]
\end{align*}
$$

如果需要进一步化简，可以展开括号里的多项式，但到这一步已经完成了二阶导数的计算。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者James Smith