指数函数泰勒级数中有限项子集的近似求和问题

针对你提出的关于选取指数函数泰勒展开式中特定项子集进行近似求和的两个问题，我来逐一拆解解答：

1. 选取连续有限项的情况 #

当然可以实现！比如你举例的$\frac{x^{3}{3!}+\frac{x}4}{4!}+\frac{x^5}{5!}$，我们可以借助指数函数的完整泰勒展开式来快速推导这个子集的和。
已知指数函数的泰勒展开为：
$$e^x = \sum_{n=0}^{{\infty}\frac{x}n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + ...$$
那么从第3项到第5项的连续和，就等于完整的$e^x$减去前3项（n=0、1、2）的和，即：
$$\sum_{n=3}^{5}\frac{xn}{n!} = e^x - \left(1 + x + \frac{x^2}{2!}\right)$$
如果是做近似计算，直接单独计算这三项的数值即可；要是需要闭合表达式，用上面的式子结合$e^x$的定义就能得到，整个过程完全符合数学定义，没有任何歧义。

2. 筛选间隔为2的项的情况 #

这同样是可行的！你举的$\frac{x^{3}{3!}+\frac{x}5}{5!}+\frac{x^7}{7!}$属于指数函数泰勒展开中的奇数项子集（仅去掉了n=1的奇数项）。我们可以利用双曲正弦函数的展开式来推导这个子集的和：
首先，双曲正弦函数的泰勒展开式为：
$$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + ...$$
那么你需要的从n=3开始、间隔为2的项的和，就等于$\sinh x$减去n=1的项，也就是：
$$\sum_{k=1}^{3}\frac{x{2k+1}}{(2k+1)!} = \sinh x - x$$
和第一种情况一样，近似计算时直接加总这三项就行；要闭合表达式的话，用上面的式子就可以精准表示，这个子集的定义也是完全明确且可操作的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SJB