咨询是否存在数字组合先乘后加的函数及通用正式表示符号

嘿，这个问题问得太到位了！你描述的这种“从输入数字组合中选取指定数量元素的所有可能乘积，再求和”的运算，在数学领域有非常通用的正式表示，它就是初等对称多项式（Elementary Symmetric Polynomials）。

常用的正式符号 #

对于一组数 ( x_1, x_2, ..., x_n )，第k个初等对称多项式最常用的两种表示是：

• ( e_k(x_1, x_2, ..., x_n) )
• ( \sigma_k(x_1, x_2, ..., x_n) )

这两种符号在数学文献、代数教材里都很常见，大家看到就知道指的是你说的这种运算。

对应你的例子验证 #

咱们用你的例子来对应一下：

1. 你定义的 ( C_2(5,6,7) = 5×6 + 5×7 + 6×7 = 107 )，完全等价于 ( e_2(5,6,7) )（或者 ( \sigma_2(5,6,7) )）；
2. 你定义的 ( C_3(1,2,3,4) = 1×2×3 + 1×2×4 + 1×3×4 + 2×3×4 = 60 )，就是 ( e_3(1,2,3,4) )（或 ( \sigma_3(1,2,3,4) )）。

额外小背景 #

初等对称多项式的应用特别广，比如咱们学过的韦达定理，本质上就是用初等对称多项式来关联多项式的根和系数：对于n次多项式 ( (t - x_1)(t - x_2)...(t - x_n) = t^n - e_1 t^{n-1} + e_2 t^{n-2} - ... + (-1)^n e_n )，这里的 ( e_1 ) 是所有根的和，( e_2 ) 是两两根的乘积之和，以此类推，刚好完美对应你说的运算逻辑。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tasynne