求解偏微分方程$u_x+u_y+u = e^{x+2y}$的方法正确性及特解疑问

嘿，你的整体解法是完全正确的，咱们一步步拆解来解答你的疑问：

一、特解的推导：不是单纯试错，有固定方法支撑 #

你提到的特解$u = \frac{e^{x+2y}}{4}$，其实可以通过待定系数法推导，而非盲目试错：
因为非齐次项是指数型函数$e^{x+2y}$，我们可以假设特解的形式为$u_p = A e^{x+2y}$（$A$为待求常数），代入原方程计算：

• 先求偏导：$u_{p_x} = A e^{x+2y}$，$u_{p_y} = 2A e^{x+2y}$
• 代入方程得：$A e^{x+2y} + 2A e^{x+2y} + A e^{x+2y} = e^{x+2y}$
• 合并左边同类项：$4A e^{x+2y} = e^{x+2y}$
• 对比两边系数可得$4A=1$，即$A=\frac{1}{4}$，因此特解就是$u_p = \frac{e^{x+2y}}{4}$。
  当然如果对这类指数型非齐次项的形式足够熟悉，也可以直接“猜测”特解形式，但本质是有固定方法支撑的，不是完全的试错。

二、齐次方程的解法：你的步骤逻辑严谨且正确 #

你求解齐次方程$u_x+u_y + u = 0$的过程完全合理：

1. 将方程变形为$\frac{u_x}{u}+\frac{u_y}{u} = -1$，令$v = \ln u$（这里注意默认$u>0$，不过后续可以通过调整任意函数$h$来覆盖$u$为负的情况，不影响通解的完整性），得到$v_x + v_y = -1$；
2. 令$w = v + x$，则$w_x = v_x + 1$，$w_y = v_y$，代入后恰好得到$w_x + w_y = 0$；
3. 对于一阶线性齐次偏微分方程$w_x + w_y = 0$，特征线法的结论是对的：它的特征线为$x - y = C$（$C$为常数），因此$w$可以表示为关于$x-y$的任意可微函数，即$w = f(x-y)$；
4. 回代得到$v = f(x-y) - x$，再代入$u = e^v$，就有$u = e^{{f(x-y)-x}$，你写成$e}{h(x-y)-x}$是完全没问题的，只是把任意函数$f$换成了$h$，本质一致。

三、原方程通解：完全正确 #

根据线性偏微分方程的叠加原理，非齐次方程的通解等于齐次方程的通解加上一个特解，因此你得到的通解：
$$u = e^{h(x-y)-x} + \frac{e^{x+2y}}{4}$$
是完全正确的，其中$h$是任意可微函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者nan