导数的两个等价定义为何等价？变量替换推导遇阻求助

首先，你的思路完全没问题——用变量替换来打通两个定义，但中间的替换步骤出现了一个小疏漏，我们来一步步理清楚：

第一步：明确变量替换的对应关系 #

你令( h = x - a )，那反过来，( x = a + h )，这个对应关系是关键！

当( x \to a )时，( h = x - a )自然就趋近于0，也就是( h \to 0 )，这部分你是对的。

第二步：正确替换原式(1)的所有变量 #

原式(1)是：
[
\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
]
把( x = a + h )代入分子的( f(x) )，得到( f(a+h) )；分母的( x - a )直接就是( h )。所以替换后应该是：
[
\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
]
这就和定义(2)完全一致了！

你之前的推导问题出在哪？ #

你把分子写成了( f(a+h) - f(x-h) )，这里混淆了变量替换的对应关系——当( x = a + h )时，( x - h = a )，所以( f(x-h) )其实就是( f(a) )，你多绕了一步反而把自己绕晕啦😉

再换个角度理解等价性 #

其实这两个定义本质上都是在描述函数在点a处的瞬时变化率：

• 定义(1)是让x从左右两边趋近于a，观察x和a之间的平均变化率的极限；
• 定义(2)是把x和a的差距用h表示，h趋近于0，本质上和x趋近于a是一回事，只是换了个变量名字来描述这个“差距”。

不管用哪种方式，我们都是在看当自变量的增量无限趋近于0时，函数增量和自变量增量的比值的极限，所以二者必然等价。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JDoeDoe