两外切圆的切点是否在连心线上？附外切圆切线长求解疑问

嘿，我来帮你把这两个问题理清楚，尤其是你纠结的「切点在连心线上」的证明——这其实是外切圆的核心性质，咱们一步步拆解：

问题1：连接两个外切圆圆心的直线是否经过切点？ #

答案是肯定的，给你两种严谨的证明思路：

思路1：利用切线的垂直性质 #

设两圆的圆心分别为( M )（大圆）、( A )（小圆），切点为( O )：

• 两圆外切于( O )，意味着过( O )有一条公共切线（这是外切圆的定义：仅有一个公共点，且该点处存在同时与两圆相切的直线）。
• 根据圆的基本性质：圆的半径垂直于过切点的切线。所以( MO \perp )这条公共切线，( AO \perp )这条公共切线。
• 两条直线都垂直于同一条直线，说明( MO )和( AO )必然共线——也就是连心线( MA )一定经过切点( O )。

思路2：反证法辅助理解 #

假设切点( O )不在连心线( MA )上，那么( MO )、( AO )、( MA )会构成三角形( MOA )：

• 根据三角形三边关系，( MO + AO > MA )。
• 但外切圆的圆心距( MA )等于两圆半径之和（( MO + AO )），这就和三边关系矛盾了。因此假设不成立，( O )必须在( MA )上。

问题2：计算(|BC|)的长度 #

现在咱们已经明确切点在连心线上，接下来通过构造直角三角形求解：

1. 过小圆的圆心( A )作( AD \parallel BC )，交大圆的半径( MB )于点( D )（因为( BC )是公切线，所以( MB \perp BC )，( AD \parallel BC )则( AD \perp MB )）。
2. 此时四边形( ABCD )是矩形，因此( BC = AD )。
3. 计算关键线段长度：
   • ( MD = MB - AB = 25 - 9 = 16 )（( AB )是小圆半径，( AB \perp BC )，所以( AB = DC = 9 )）
   • ( MA = 25 + 9 = 34 )（外切圆的圆心距等于两半径之和）
4. 在( \text{Rt}\triangle MAD )中，用勾股定理计算：

   AD = \sqrt{MA^2 - MD^2} = \sqrt{34^2 - 16^2} = \sqrt{1156 - 256} = \sqrt{900} = 30
   

5. 因此(|BC| = 30)。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sasaki