柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫度量：sup与max是否等价？为何用sup定义？

这是个非常好的问题，先直接给结论：对于连续随机变量的分布函数（CDF），柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫度量的上确界（sup）定义和最大值（max）定义是完全等价的。下面详细解释原因和教材选择sup的理由：

等价性的证明 #

1. 连续CDF的核心性质：连续随机变量的CDF $F_X(t)$ 和 $F_Y(t)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的处处连续函数，同时满足极限条件：$\lim_{t\to-\infty}F(t)=0$，$\lim_{t\to+\infty}F(t)=1$。
2. 差值函数的连续性：令 $D(t)=|F_X(t)-F_Y(t)|$，这是一个从 $\mathbb{R}$ 映射到 $[0,1]$ 的连续函数。由于当 $t\to\pm\infty$ 时 $D(t)\to0$，我们总能找到一个足够大的闭区间 $[-M,M]$，使得区间外的 $D(t)$ 值远小于区间内的候选最大值。
3. 极值定理的应用：根据实分析中的极值定理，闭区间上的连续函数必然能取到最大值。因此 $D(t)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的上确界（sup），就等于它在闭区间 $[-M,M]$ 上的最大值（max）。

为什么教材更常用Sup而非Max？ #

虽然对于连续变量两者等价，但sup的定义有更强的通用性和严谨性：

• 覆盖所有分布类型：sup的定义适用于所有合法的CDF，包括离散随机变量的阶梯型CDF、经验分布函数（EDF）等。虽然多数情况下这些非连续CDF的差值函数也能取到最大值，但sup的定义无需额外证明“最大值存在”这一前提，直接适配所有概率分布场景。
• 数学逻辑的严谨性：在实分析体系中，sup是更基础的“上确界”概念，当我们定义一个函数的“最大可能值”时，先用sup可以避免预设“最大值一定存在”的假设，之后再根据函数的具体性质（比如连续性、单调性）推导是否能取到max，逻辑上更完整。

是否存在Sup≠Max的情况？ #

如果跳出符合概率公理的合法CDF范畴，考虑一些不满足右连续或极限条件的非规范“分布函数”，可能会出现sup无法取到的情况。但对于所有满足概率定义的CDF（连续、离散、混合类型），$|F_X(t)-F_Y(t)|$ 的上确界一定能取到，即sup与max始终相等。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aaron Hendrickson