R-模族运算等式求证：∩(Mᵢ/N)是否等于(∩Mᵢ)/N？

嘿，这个等式完全成立！咱们从两个方向来证明包含关系，就能确认它的正确性：

首先先明确几个基础概念：

• 对于每个$i \in I$，商模$M_i/N$中的元素都是形如$m + N$的陪集，其中$m \in M_i$（题目里已经给出$N \subseteq M_i$，所以这个商模是良定义的）。
• $\cap(M_i/N)$表示所有同时属于每个$M_i/N$的陪集的集合；$(\cap M_i)/N$则是所有由$\cap M_i$中的元素加上$N$形成的陪集。

第一步：证明$\boldsymbol{\cap(M_i/N) \subseteq (\cap M_i)/N}$ #

• 任取一个陪集$x + N \in \cap(M_i/N)$，这意味着对任意$i \in I$，$x + N$都属于$M_i/N$。
• 根据商模的定义，$x + N \in M_i/N$等价于$x \in M_i$（因为$N \subseteq M_i$，所以只要$x$在$M_i$里，整个陪集$x+N$都包含在$M_i$中）。
• 既然$x$属于每一个$M_i$，那$x$必然在所有$M_i$的交集里，也就是$x \in \cap M_i$。
• 因此$x + N$就是$(\cap M_i)/N$中的元素，左边集合包含于右边得证。

第二步：证明$\boldsymbol{(\cap M_i)/N \subseteq \cap(M_i/N)}$ #

• 任取一个陪集$y + N \in (\cap M_i)/N$，根据定义，$y$属于所有$M_i$的交集，也就是$y \in \cap M_i$。
• 这意味着对任意$i \in I$，$y \in M_i$。结合$N \subseteq M_i$，可知$y + N \subseteq M_i$，也就是$y + N \in M_i/N$。
• 既然$y + N$属于每一个$M_i/N$，那它自然属于所有$M_i/N$的交集，即$y + N \in \cap(M_i/N)$，右边集合包含于左边得证。

两个方向的包含关系都成立，所以等式$\boldsymbol{\cap(M_i/N) = (\cap M_i)/N}$成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者S Ali Mousavi