证明：若函数在某点连续，则存在其δ邻域使函数在该邻域一致连续

嘿，咱们把问题和证明过程用清晰的格式整理好：

问题陈述 #

设$A\subset \mathbb{R}$，函数$f:A \to \mathbb{R}$在$c \in A$处连续。证明：$\forall \epsilon >0$，存在$c$的邻域$V_\delta (c)$，使得若$x,y \in A \cap V_\delta (c)$，则$\left|f(x) - f(y) \right| < \epsilon$。

证明过程（延续你的思路补全） #

你已经有了开头，咱们把完整证明梳理清楚：

由题设，函数$f$在$c$点连续，根据函数在一点连续的定义：

$\forall \epsilon > 0 , , \exists \delta > 0 $，使得对所有满足$\left|x - c\right| < \delta$的$x \in A$，都有$\left|f(x) - f(c)\right| < \frac{\epsilon}{2}$。

现在取这个$\delta$对应的邻域$V_\delta(c) = (c-\delta, c+\delta)$，任取$x,y \in A \cap V_\delta(c)$，那么$x$和$y$都满足$\left|x - c\right| < \delta$和$\left|y - c\right| < \delta$，利用三角不等式放缩：
$$
\begin{align*}
\left|f(x) - f(y)\right| &= \left|(f(x) - f(c)) + (f(c) - f(y))\right| \
&\leq \left|f(x) - f(c)\right| + \left|f(c) - f(y)\right| \
&< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon
\end{align*}
$$
这样就完全满足了题目的要求，证明完毕。这里的核心技巧是把$\epsilon$拆分为$\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}$，借助连续定义的条件分别对$f(x)-f(c)$和$f(y)-f(c)$做放缩，再通过三角不等式将两者关联起来。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Zduff