微积分中迹线（trace）与等高线（contour）的区别是什么？

嘿，我完全懂你为啥会把这两个概念搞混——它们本质上都是曲面和平面的交线，但二者的核心差异确实就像你猜测的那样，在于固定的是函数的输入变量还是输出变量，咱们把细节说透：

• 等高线（Contour Line）：对应曲面 z=f(x,y) 与水平平面 z=k（k为常数）的交线。简单来说，它是把曲面上所有输出值z相同的点连接起来，相当于固定了函数的输出变量。比如常见的地形图里的等高线，每一条线都代表海拔高度一致的区域。
• 迹线（Trace）：对应曲面与垂直平面 x=a 或 y=b（a、b为常数）的交线。这里固定的是函数的输入变量——要么把x的值固定死，观察y和z的变化关系；要么把y的值固定死，观察x和z的变化关系。比如你拿一个垂直于x轴的平面去切曲面，切出来的那条曲线就是x=a对应的迹线。

举个直观的例子：把曲面想象成一座起伏的山

等高线就是绕着山画的一圈圈同海拔的环线，你站在这条线上，身高（对应z值）始终不变；
迹线就是沿着南北方向（固定x值）或者东西方向（固定y值）切出来的山坡剖面，相当于你沿着某条经度或纬度爬山时走的路线，此时x或y固定，z随着另一个输入变量的变化而起伏。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Joseph Garvin