咱们来深入探究希尔伯特矩阵的条件数随维度$N$的增长规律，具体步骤和结果如下：

一、计算各阶矩阵的条件数 #

对于$N$取1到50的所有整数，我们使用Matlab的内置函数来计算$N$阶希尔伯特矩阵$H_N \in {\Bbb R}^{N \times N}$的2-范数条件数，对应的执行命令是：

cond(hilb(N),2)

二、绘制对比可视化图 #

为了直观对比实际计算结果和理论趋势，我们需要绘制两条曲线：

• 用蓝色叉号展示$H_N$条件数的对数与$N$的关系
• 用红色线条展示理论预期的增长趋势$O\left(\frac{(1+\sqrt{2})^{4N}}{\sqrt{N}}\right)$

最终得到的对比图像如下：

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Di Wang